扩展欧几里得————《数论》
数论倒数，又称逆元（因为我说习惯逆元了，下面我都说逆元）
数论中的倒数是有特别的意义滴
你以为a的倒数在数论中还是1/a吗
(・∀・)哼哼~天真
先来引入求余概念
(a + b) % p = (a%p + b%p) %p （对）
(a - b) % p = (a%p - b%p) %p （对）
(a * b) % p = (a%p * b%p) %p （对）
(a / b) % p = (a%p / b%p) %p （错）
为什么除法错的
证明是对的难，证明错的只要举一个反例
(100/50)%20 = 2 ≠ (100%20) / (50%20) %20 = 0
对于一些题目，我们必须在中间过程中进行求余，否则数字太大，电脑存不下，那如果这个算式中出现除法，我们是不是对这个算式就无法计算了呢？
答案当然是 NO (>o<)
这时就需要逆元了
我们知道
如果
a*x = 1
那么x是a的倒数，x = 1/a
但是a如果不是1，那么x就是小数
那数论中，大部分情况都有求余，所以现在问题变了
a*x = 1 (mod p)
那么x一定等于1/a吗
不一定
所以这时候，我们就把x看成a的倒数，只不过加了一个求余条件，所以x叫做 a关于p的逆元
比如2 * 3 % 5 = 1，那么3就是2关于5的逆元，或者说2和3关于5互为逆元
这里3的效果是不是跟1/2的效果一样，所以才叫数论倒数
b的逆元，我们用inv(b)来表示
那么(a / b) % p = (a * inv(b) ) % p = (a % p * inv(b) % p) % p
这样就把除法，完全转换为乘法了 (。・ω・)，乘法超容易
正篇开始
逆元怎么求
(忘了说，a和p互质，a才有关于p的逆元)
方法一：
费马曾经说过：不想当数学家的数学家不是好数学家（(￣▽￣)~*我随便说的，别当真）
费马小定理
a^(p-1) ≡1 (mod p)
两边同除以a
a^(p-2) ≡1/a (mod p)
什么(,,• ₃ •,,)，这可是数论，还敢写1/a
应该写a^(p-2) ≡ inv(a) (mod p)
所以inv(a) = a^(p-2) (mod p)
这个用快速幂求一下，复杂度O(logn)(ง •̀_•́)ง
1 LL pow_mod(LL a, LL b, LL p){//a的b次方求余p
2 LL ret = 1;
3 while(b){
4 if(b & 1) ret = (ret * a) % p;
5 a = (a * a) % p;
6 b >>= 1;
7 }
8 return ret;
9 }
10 LL Fermat(LL a, LL p){//费马求a关于b的逆元
11 return pow_mod(a, p-2, p);
12 }
方法二：
要用扩展欧几里德算法
还记得扩展欧几里德吗？（不记得的话，欧几里得会伤心的(╭￣3￣)╭♡）
a*x + b*y = 1
如果ab互质，有解
这个解的x就是a关于b的逆元
y就是b关于a的逆元
为什么呢？
你看，两边同时求余b
a*x % b + b*y % b = 1 % b
a*x % b = 1 % b
a*x = 1 (mod b)
你看你看，出现了！！！(/≥▽≤/)
所以x是a关于b的逆元
反之可证明y
附上代码：
1 #include<cstdio>
2 typedef long long LL;
3 void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){
4 if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}
5 else{
6 ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
7 y -= x * (a / b);
8 }
9 }
10 LL inv(LL t, LL p){//如果不存在，返回-1
11 LL d, x, y;
12 ex_gcd(t, p, x, y, d);
13 return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1;
14 }
15 int main(){
16 LL a, p;
17 while(~scanf("%lld%lld", &a, &p)){
18 printf("%lld\n", inv(a, p));
19 }
20 }
方法三：
当p是个质数的时候有
inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p
这为啥是对的咩？
证明不想看的孩子可以跳过。。。（￣0 ￣）
证明：
设x = p % a,y = p / a
于是有 x + y * a = p
(x + y * a) % p = 0
移项得 x % p = (-y) * a % p
x * inv(a) % p = (-y) % p
inv(a) = (p - y) * inv(x) % p
于是 inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p
然后一直递归到1为止，因为1的逆元就是1
代码：
1 #include<cstdio>
2 typedef long long LL;
3 LL inv(LL t, LL p) {//求t关于p的逆元，注意:t要小于p，最好传参前先把t%p一下
4 return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p;
5 }
6 int main(){
7 LL a, p;
8 while(~scanf("%lld%lld", &a, &p)){
9 printf("%lld\n", inv(a%p, p));
10 }
11 }
这个方法不限于求单个逆元，比前两个好，它可以在O(n)的复杂度内算出n个数的逆元
递归就是上面的写法，加一个记忆性递归，就可以了
递推这么写
1 #include<cstdio>
2 const int N = 200000 + 5;
3 const int MOD = (int)1e9 + 7;
4 int inv[N];
5 int init(){
6 inv[1] = 1;
7 for(int i = 2; i < N; i ++){
8 inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;
9 }
10 }
11 int main(){
12 init();
13 }
又学到新知识了o(*≧▽≦)ツ好开心
拓展欧几里得（Extend- Euclid）
背景：
扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y [x,y都是整数]，使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根据数论中的相关定理）。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。 ——百度百科
用到的几个欧几里得重要结论：
1) gcd(a,b) = gcd(b,a %b);
2) gcd(a,0) = a.
代码：
(1)
1 ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) 2 { 3 ll d; 4 //if (a == 0 && b == 0) return -1;// 无GCD 5 if (b == 0) 6 { 7 x = 1; 8 y = 0; 9 return a; 10 } 11 d = exgcd(b, a%b, y, x); 12 y -= a / b * x; 13 return d; 14 } 15 16 //求a关于模n的逆元,不存在返回-1 17 ll inverse(ll a, ll MOD) 18 { 19 ll x, y, d; 20 d = exgcd(a, MOD, x, y); 21 if (d == 1) 22 return (x % MOD + MOD) % MOD; 23 24 // else return -1; 25 }
(2)
1 typedef __int64 ll; 2 void exgcd(ll a, ll b, ll& d, ll& x, ll &y) 3 { 4 if(!b) 5 { 6 d = a, x = 1, y = 0; 7 } 8 else 9 { 10 exgcd(b, a % b, d, y, x); 11 y -= x * (a / b); 12 } 13 }
分析：
设如下两个方程：
ax+by = gcd(a,b) = d；
bx’+(a%b)y’ = gcd(b,a%b)；
那么由重要结论（1）有gcd(a,b) = gcd(b,a %b)，
那么ax+by = bx’+(a%b)y’ = bx’ +(a – [a/b]*b)y’ = ay’ + b(x’ – [a/b]y’)，
由恒等关系有： x = y’ , y = (x’ – [a/b]y’)，[a/b]表示a/b的值向下取整。
那么现在就可以用exgcd(a,b,d,x,y)表示方程ax+by = d，那么由上面一直递归下去，直到 b = 0，递归结束，此时 d = gcd(a,0) =a , x = 1,y =0;【因为 ax+0*y = gcd(a,0)嘛~】
拓展欧几里得的几个应用
求解不定方程
例如：求解不定整数方程ax+by = c
求ax+by = c， 令d =gcd(a,b);
那么(a / d ) * x + (b / d )* y = c / d
因为(a / d )、(b / d ) 、x、y都是整数，那么保证原不定整数方程ax+by = c有解的充要条件就是c / d为整数，即c是gcd(a,b)的倍数。
如果有解，那么令 K = c/d；
那么，对方程aX+bY = d；假设有拓展欧几里得求出一组解为(X0,Y0)，那么aX0+bY0 = d；等式两边同时乘以K，即K*( aX0+bY0 ) = d*K = c；由恒等关系，原方程的解（x0，y0）：
X0 = KX0 = c/d * X0，y0 = KY0 = c/d *Y0。
不定方程的通解：
若（x0，y0）是不定整数方程ax+by = c的一组解，则他的任意整数解都可以表示成（x0+ kb’, y0-ka’），其中a’ = a/gcd(a,b), b’ = b/gcd(a,b).
