BZOJ2705 [SDOI2012]Longge的问题 欧拉函数

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Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

6

Sample Output

15

HINT

 

【数据范围】

对于60%的数据，0<N<=2^16。

对于100%的数据，0<N<=2^32。

题目中要求出∑gcd(i,N)(1<=i<=N)。

枚举n的约数k，令s(k)为满足gcd(m,n)=k,(1<=m<=n)m的个数，则ans=sigma(k*s(k)) (k为n的约数）

因为gcd(m,n)=k,所以gcd(m/k,n/k)=1,于是s(k)=euler(n/k)

phi可以在根号的时间内求出

 

欧拉函数的定义:

    在数论中，对于正整数N,少于或等于N ([1,N]),且与N互质的正整数(包括1)的个数，记作φ(n)。

     φ函数的值：

    φ(x)=x(1-1/p(1))(1-1/p(2))(1-1/p(3))(1-1/p(4))…..(1-1/p(n)) 其中p(1),p(2)…p(n)为x

的所有质因数;x是正整数; φ(1)=1(唯一和1互质的数，且小于等于1)。注意：每种质因数只有一个。

     例如:

         φ(10)=10×(1-1/2)×(1-1/5)=4;

         1 3 7 9

         φ(30)=30×(1-1/2)×(1-1/3)×(1-1/5)=8;

         φ(49)=49×(1-1/7)=42;

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,ans;

ll phi(ll n){
    ll ret = n,a = n;
    for (int i = 2;i <= sqrt(n);++i){
        if (a % i) continue;
        ret -= ret/i;
        while(a % i == 0) a /= i;
    }
    if (a > 1) ret -= ret/a;
    return ret;
}

int main(){
    scanf("%lld",&n);
    ans = 0;
    for (int i = 1;i <= sqrt(n);++i){
        if (n%i) continue;
        ans += i*phi(n/i);
        if (i*i < n) ans += n/i*phi(i);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}