浅谈数据结构之二叉树存储结构实现(七)

　　树：是n个结点的有限集；n=0时称为空树。在任意一棵非空树中，有且只有一个特定的结点称为根结点；其余的结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集，其中每一个有限集都是一棵子树。结点拥有的子树数称为结点的度；度为0的结点称为叶结点或者终端结点，度不为0的结点称为分支结点或者非终端结点；树的度就是树内各结点的度的最大值。

　　二叉树的特点有：(1).每个结点最多有两棵子树，所以二叉树不存在度大于2的结点(注意：不是只有两棵子树，而是最多有两棵子树，没有子树或者有一颗子树都是可以的);(2).左子树和右子树都是有顺序的，次序不能任意颠倒；(3).即使只有一棵子树，也要区分清它是左子树还是右子树。

　　对于树这种一对多的结构来说，简单的顺序存储和链式存储结构都不能满足树的存储结构的实现；不过可以利用顺序存储与链式存储的特点来实现树的存储结构的表示。但对于二叉树这种特殊的树来说，它的顺序存储结构完全可以实现；用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，也就是数组的下标要能体现结点之间的逻辑关系，比如双亲和孩子的关系，左右兄弟的关系。二叉树的链式存储结构，我们一般称为二叉链表，即为它设计一个数据域和两个指针域，其中两个指针域分别存放指向左孩子和右孩子的指针。

　　二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。二叉树的遍历方式主要有四种：(1).前序遍历，规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树；(2).中序遍历，规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则从根结点开始(注意并不是先访问根结点)，中序遍历根结点的左子树，然后访问根结点，最后中序遍历右子树；(3).后序遍历，若二叉树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历左右子树，最后访问根结点；(4).层序遍历，规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则从树的第一层，也就是从根结点开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序依次访问。

二叉树顺序存储结构的实现，遍历方式源程序代码如下所示：

#include <stdio.h>   
#include <stdlib.h>  
#include <math.h> 

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

#define MAXSIZE 100             /* 存储空间初始分配量 */
#define MAX_TREE_SIZE 100       /* 二叉树的最大结点数 */
#define ClearBiTree InitBiTree  /* 在顺序存储结构中，两函数完全一样 */

typedef int Status;             /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef int TElemType;          /* 树结点的数据类型，目前暂定为整型 */
typedef TElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE];       /* 0号单元存储根结点  */

typedef struct
{
    int level,order;            /* 结点的层,本层序号(按满二叉树计算) */
}Position;

TElemType Nil=0;                /* 设整型以0为空 */

Status visit(TElemType c)
{
    printf("%d ",c);
    return OK;
}

/* 构造空二叉树T。因为T是固定数组，不会改变，故不需要& */
Status InitBiTree(SqBiTree T)
{
    int i;
    for(i=0;i<MAX_TREE_SIZE;i++)
        T[i]=Nil;                 /* 初值为空 */
    return OK;
}

/* 按层序次序输入二叉树中结点的值(字符型或整型), 构造顺序存储的二叉树T */
Status CreateBiTree(SqBiTree T)
{ 
    int i=0;
     printf("请按层序输入结点的值(整型)，0表示空结点，输99结束。结点数≤%d:\n",MAX_TREE_SIZE);
    while(i<10)
    {
        T[i]=i+1;
        
        if(i!=0&&T[(i+1)/2-1]==Nil&&T[i]!=Nil)         /* 此结点(不空)无双亲且不是根 */
        {
            printf("出现无双亲的非根结点%d\n",T[i]);
            exit(ERROR);
        }
        i++;
    }
    while(i<MAX_TREE_SIZE)
    {
        T[i]=Nil;                 /* 将空赋值给T的后面的结点 */
        i++;
    }

    return OK;
}

/* 初始条件: 二叉树T存在 */
/* 操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则FALSE */
Status BiTreeEmpty(SqBiTree T)
{ 
    if(T[0]==Nil)               /* 根结点为空,则树空 */
        return TRUE;
    else
        return FALSE;
}

/* 初始条件: 二叉树T存在。操作结果: 返回T的深度 */
int BiTreeDepth(SqBiTree T)
{ 
    int i,j=-1;
    for(i=MAX_TREE_SIZE-1;i>=0;i--)         /* 找到最后一个结点 */
    if(T[i]!=Nil)
           break;
    i++; 
    do
         j++;
    while(i>=powl(2,j));                    /* 计算2的j次幂。 */
    return j;
}

/* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点(的位置) */
/* 操作结果: 返回处于位置e(层,本层序号)的结点的值 */
TElemType Value(SqBiTree T,Position e)
{ 
     return T[(int)powl(2,e.level-1)+e.order-2];
}

/* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点(的位置) */
/* 操作结果: 给处于位置e(层,本层序号)的结点赋新值value */
Status Assign(SqBiTree T,Position e,TElemType value)
{ 
    int i=(int)powl(2,e.level-1)+e.order-2;     /* 将层、本层序号转为矩阵的序号 */
    if(value!=Nil&&T[(i+1)/2-1]==Nil)           /* 给叶子赋非空值但双亲为空 */
        return ERROR;
    else if(value==Nil&&(T[i*2+1]!=Nil||T[i*2+2]!=Nil))     /*  给双亲赋空值但有叶子（不空） */
        return ERROR;
    T[i]=value;
    return OK;
}

/* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 */
/* 操作结果: 若e是T的非根结点,则返回它的双亲,否则返回＂空＂ */
TElemType Parent(SqBiTree T,TElemType e)
{ 
    int i;
    if(T[0]==Nil)       /* 空树 */
        return Nil;
    for(i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
        if(T[i]==e)     /* 找到e */
            return T[(i+1)/2-1];
    return Nil;         /* 没找到e */
}


/* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 */
/* 操作结果: 返回e的左孩子。若e无左孩子,则返回＂空＂ */
TElemType LeftChild(SqBiTree T,TElemType e)
{ 
    int i;
    if(T[0]==Nil)       /* 空树 */
        return Nil;
    for(i=0;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
        if(T[i]==e)     /* 找到e */
            return T[i*2+1];
    return Nil;         /* 没找到e */
}

/* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 */
/* 操作结果: 返回e的右孩子。若e无右孩子,则返回＂空＂ */
TElemType RightChild(SqBiTree T,TElemType e)
{ 
    int i;
    if(T[0]==Nil)       /* 空树 */
        return Nil;
    for(i=0;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
        if(T[i]==e)     /* 找到e */
            return T[i*2+2];
    return Nil;         /* 没找到e */
}

/* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 */
/* 操作结果: 返回e的左兄弟。若e是T的左孩子或无左兄弟,则返回＂空＂ */
TElemType LeftSibling(SqBiTree T,TElemType e)
{ 
    int i;
    if(T[0]==Nil)       /* 空树 */
        return Nil;
    for(i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
        if(T[i]==e&&i%2==0) /* 找到e且其序号为偶数(是右孩子) */
            return T[i-1];
    return Nil;         /* 没找到e */
}

/* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 */
/* 操作结果: 返回e的右兄弟。若e是T的右孩子或无右兄弟,则返回＂空＂ */
TElemType RightSibling(SqBiTree T,TElemType e)
{ 
    int i;
    if(T[0]==Nil)           /* 空树 */
        return Nil;
    for(i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
        if(T[i]==e&&i%2)    /* 找到e且其序号为奇数(是左孩子) */
            return T[i+1];
    return Nil;             /* 没找到e */
}

/* PreOrderTraverse()调用 */
void PreTraverse(SqBiTree T,int e)
{ 
    visit(T[e]);
    if(T[2*e+1]!=Nil)    /* 左子树不空 */
        PreTraverse(T,2*e+1);
    if(T[2*e+2]!=Nil)    /* 右子树不空 */
        PreTraverse(T,2*e+2);
}

/* 初始条件: 二叉树存在 */
/* 操作结果: 先序遍历T。*/
Status PreOrderTraverse(SqBiTree T)
{ 
    if(!BiTreeEmpty(T))   /* 树不空 */
     PreTraverse(T,0);
    printf("\n");
    return OK;
}

/* InOrderTraverse()调用 */
void InTraverse(SqBiTree T,int e)
{ 
    if(T[2*e+1]!=Nil)     /* 左子树不空 */
        InTraverse(T,2*e+1);
    visit(T[e]);
    if(T[2*e+2]!=Nil)     /* 右子树不空 */
        InTraverse(T,2*e+2);
}

/* 初始条件: 二叉树存在 */
/* 操作结果: 中序遍历T。*/
Status InOrderTraverse(SqBiTree T)
{ 
    if(!BiTreeEmpty(T))   /* 树不空 */
        InTraverse(T,0);
    printf("\n");
    return OK;
}

/* PostOrderTraverse()调用 */
void PostTraverse(SqBiTree T,int e)
{ 
    if(T[2*e+1]!=Nil)     /* 左子树不空 */
        PostTraverse(T,2*e+1);
    if(T[2*e+2]!=Nil)     /* 右子树不空 */
        PostTraverse(T,2*e+2);
    visit(T[e]);
}

/* 初始条件: 二叉树T存在 */
/* 操作结果: 后序遍历T。 */
Status PostOrderTraverse(SqBiTree T)
{ 
    if(!BiTreeEmpty(T))  /* 树不空 */
        PostTraverse(T,0);
    printf("\n");
    return OK;
}

/* 层序遍历二叉树 */
void LevelOrderTraverse(SqBiTree T)
{ 
    int i=MAX_TREE_SIZE-1,j;
    while(T[i]==Nil)
        i--;             /* 找到最后一个非空结点的序号 */
    for(j=0;j<=i;j++)    /* 从根结点起,按层序遍历二叉树 */
        if(T[j]!=Nil)
            visit(T[j]); /* 只遍历非空的结点 */
    printf("\n");
}

/* 逐层、按本层序号输出二叉树 */
void Print(SqBiTree T)
{ 
    int j,k;
    Position p;
    TElemType e;
    for(j=1;j<=BiTreeDepth(T);j++)
    {
        printf("第%d层: ",j);
        for(k=1;k<=powl(2,j-1);k++)
        {
            p.level=j;
            p.order=k;
            e=Value(T,p);
            if(e!=Nil)
                printf("%d:%d ",k,e);
        }
        printf("\n");
    }
}


int main()
{
    Status i;
    Position p;
    TElemType e;
    SqBiTree T;
    
    InitBiTree(T);
    CreateBiTree(T);
    printf("1.建立二叉树后,树的深度=%d\n",BiTreeDepth(T));

    printf("2.层序遍历二叉树: ");
    LevelOrderTraverse(T);
    
    printf("3.前序遍历二叉树: ");
    PreOrderTraverse(T);
    
    printf("4.中序遍历二叉树: ");
    InOrderTraverse(T);
    
    printf("5.后序遍历二叉树: ");
    PostOrderTraverse(T);
    
    printf("6.修改结点的层号2,本层序号1;\n");
    p.level=2;
    p.order=1;
    e=Value(T,p);
    printf("7.待修改结点的原值为%d,请输入新值: %d\n",e,36);
    e=36;
    Assign(T,p,e);
    
    printf("8.前序遍历二叉树: ");
    PreOrderTraverse(T);
    
    printf("9.后序遍历二叉树: ");
    PostOrderTraverse(T);
    
    printf("10.结点%d的双亲为%d;左右孩子分别为",e,Parent(T,e));
    printf("%d,%d;左右兄弟分别为",LeftChild(T,e),RightChild(T,e));
    printf("%d,%d\n",LeftSibling(T,e),RightSibling(T,e));
    
    ClearBiTree(T);
    printf("11.清空二叉树后，树的深度=%d\n",BiTreeDepth(T));
    
    return 0;
}

 二叉树链式存储结构的实现，遍历方式源程序代码如下所示：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h> 
#include <string.h>
#include <math.h>

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

#define ClearBiTree DestroyBiTree

#define MAXSIZE 100          /* 存储空间初始分配量 */

typedef int Status;          /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */

/* 构造二叉树 */
int index=1;
typedef char String[24];     /*  0号单元存放串的长度 */
String str;

Status StrAssign(String T,char *chars)
{ 
    int i;
    if(strlen(chars)>MAXSIZE)
        return ERROR;
    else
    {
        T[0]=strlen(chars);
        for(i=1;i<=T[0];i++)
            T[i]=*(chars+i-1);
        return OK;
    }
}

typedef char TElemType;
TElemType Nil=' ';            /* 字符型以空格符为空 */

Status visit(TElemType e)
{
    printf("%c ",e);
    return OK;
}

typedef struct BiTNode      　/* 结点结构 */
{
   TElemType data;            /* 结点数据 */
   struct BiTNode *lchild,*rchild;         /* 左右孩子指针 */
}BiTNode,*BiTree;


/* 构造空二叉树T */
Status InitBiTree(BiTree *T)
{ 
    *T=NULL;
    return OK;
}

/* 初始条件: 二叉树T存在。操作结果: 销毁二叉树T */
void DestroyBiTree(BiTree *T)
{ 
    if(*T) 
    {
        if((*T)->lchild)     /* 有左孩子 */
            DestroyBiTree(&(*T)->lchild);         /* 销毁左孩子子树 */
        if((*T)->rchild)     /* 有右孩子 */
            DestroyBiTree(&(*T)->rchild);         /* 销毁右孩子子树 */
        free(*T);            /* 释放根结点 */
        *T=NULL;             /* 空指针赋0 */
    }
}

/* 按前序输入二叉树中结点的值（一个字符） */
/* #表示空树，构造二叉链表表示二叉树T */
void CreateBiTree(BiTree *T)
{ 
    TElemType ch;
    
    /* scanf("%c",&ch); */
    ch=str[index++];

    if(ch=='#') 
        *T=NULL;
    else
    {
        *T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        if(!*T)
            exit(OVERFLOW);
        (*T)->data=ch;         /* 生成根结点 */
        CreateBiTree(&(*T)->lchild);             /* 构造左子树 */
        CreateBiTree(&(*T)->rchild);             /* 构造右子树 */
    }
}

/* 初始条件: 二叉树T存在 */
/* 操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则FALSE */
Status BiTreeEmpty(BiTree T)
{ 
    if(T)
        return FALSE;
    else
        return TRUE;
}

/* 初始条件: 二叉树T存在。操作结果: 返回T的深度 */
int BiTreeDepth(BiTree T)
{
    int i,j;
    if(!T)
        return 0;
    if(T->lchild)
        i=BiTreeDepth(T->lchild);
    else
        i=0;
    if(T->rchild)
        j=BiTreeDepth(T->rchild);
    else
        j=0;
    return i>j?i+1:j+1;
}

/* 初始条件: 二叉树T存在。操作结果: 返回T的根 */
TElemType Root(BiTree T)
{ 
    if(BiTreeEmpty(T))
        return Nil;
    else
        return T->data;
}

/* 初始条件: 二叉树T存在，p指向T中某个结点 */
/* 操作结果: 返回p所指结点的值 */
TElemType Value(BiTree p)
{
    return p->data;
}

/* 给p所指结点赋值为value */
void Assign(BiTree p,TElemType value)
{
    p->data=value;
}

/* 初始条件: 二叉树T存在 */
/* 操作结果: 前序递归遍历T */
void PreOrderTraverse(BiTree T)
{ 
    if(T==NULL)
        return;
    printf("%c",T->data);            /* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
    PreOrderTraverse(T->lchild);     /* 再先序遍历左子树 */
    PreOrderTraverse(T->rchild);     /* 最后先序遍历右子树 */
}

/* 初始条件: 二叉树T存在 */
/* 操作结果: 中序递归遍历T */
void InOrderTraverse(BiTree T)
{ 
    if(T==NULL)
        return;
    InOrderTraverse(T->lchild);      /* 中序遍历左子树 */
    printf("%c",T->data);            /* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
    InOrderTraverse(T->rchild);      /* 最后中序遍历右子树 */
}

/* 初始条件: 二叉树T存在 */
/* 操作结果: 后序递归遍历T */
void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T==NULL)
        return;
    PostOrderTraverse(T->lchild);    /* 先后序遍历左子树  */
    PostOrderTraverse(T->rchild);    /* 再后序遍历右子树  */
    printf("%c",T->data);            /* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
}

int main()
{
    int i;
    BiTree T;
    TElemType e1;
    InitBiTree(&T);

    StrAssign(str,"ABDH#K###E##CFI###G#J##");

    CreateBiTree(&T);
    printf("1.构造空二叉树后,树的深度=%d\n",BiTreeDepth(T));
    
    e1=Root(T);
    printf("2.二叉树的根为：%c\n",e1);

    printf("3.前序遍历二叉树：");
    PreOrderTraverse(T);
    
    printf("\n4.中序遍历二叉树：");
    InOrderTraverse(T);
    
    printf("\n5.后序遍历二叉树：");
    PostOrderTraverse(T);
    
    ClearBiTree(&T);
    printf("\n6.清除二叉树后,树的深度=%d\n",BiTreeDepth(T));
    
    return 0;
}