软考——编译原理DFA

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DFA 的化简

 

任何正规语言都有一个唯一的状态数目最少的DFA

 

DFA M的化简是指：寻找一个状态数比M少的DFA M’，使得L(M)=L(M’)

 

有穷自动机的多余状态：从自动机的开始状态出发，任何可识别的输入串也不能到达的状态

 

化简了的DFA M’ 满足两个条件：

 

没有多余状态 ；

没有两个状态是等价的。

求解步骤

 

① 将DFA M的状态集Q分划成两个子集：终态集和非终态集；

 

② 对每个子集G，如果面对某个输入符号得到的后继状态不属于同一个子集，则将G进一步划分；

 

③ 重复②直到不再产生新划分；

 

④ 在每个子集中选一个状态作代表，消去其他状态，得到最少状态的等价DFA M’。

 

示例1

 

将下图的 DFA 最小化 

 

 

 

解：根据规则 ① ，将DFA M的状态集Q分划成两个子集

 

∏ =（{A,B,C,D}，{E}）

根据规则 ② ，因为 { A , B , C , D } a = { B } ⊆ { A , B , C , D } \{A,B,C,D\}_a=\{B\}⊆\{A,B,C,D\} {A,B,C,D} 

a

​

 ={B}⊆{A,B,C,D}， 而 { A , B , C , D } b = { C , D , E } ⊄ { A , B , C , D } \{A,B,C,D\}_b=\{C,D,E\}⊄\{A,B,C,D\} {A,B,C,D} 

b

​

 ={C,D,E}⊄{A,B,C,D}。因为 { A , B , C } b ⊆ { A , B , C , D } \{A,B,C\}_b⊆\{A,B,C,D\} {A,B,C} 

b

​

 ⊆{A,B,C,D}， { D } b ⊆ { E } \{D\}_b⊆\{E\} {D} 

b

​

 ⊆{E}，故将 { A , B , C , D } \{A,B,C,D\} {A,B,C,D} 划分为 { A , B , C } \{A,B,C\} {A,B,C}和 { D } \{D\} {D}

 

∏ =（{A,B,C}，{D}，{E}）

根据规则 ② ，因为 { A , B , C } a = { B } ⊆ { A , B , C } \{A,B,C\}_a=\{B\}⊆\{A,B,C\} {A,B,C} 

a

​

 ={B}⊆{A,B,C}， 而 { A , B , C } b = { C , D } ⊄ { A , B , C } ⊄ { D } \{A,B,C\}_b=\{C,D\}⊄\{A,B,C\}⊄\{D\} {A,B,C} 

b

​

 ={C,D}⊄{A,B,C}⊄{D}。因为 { A , C } b ⊆ { A , B , C } \{A,C\}_b⊆\{A,B,C\} {A,C} 

b

​

 ⊆{A,B,C}， { B } b ⊆ { D } \{B\}_b⊆\{D\} {B} 

b

​

 ⊆{D}，故将 { A , B , C } \{A,B,C\} {A,B,C} 划分为 { A , C } \{A,C\} {A,C}和 { B } \{B\} {B}

 

∏ =（{A,C}，{B}，{D}，{E}）

根据规则 ② ，因为 { A , C } a = { B } ⊆ { B } ⊄ { D } ⊄ { E } \{A,C\}_a=\{B\}⊆\{B\}⊄\{D\}⊄\{E\} {A,C} 

a

​

 ={B}⊆{B}⊄{D}⊄{E}， 而 { A , C } b ⊆ { C } ⊆ { A , C } \{A,C\}_b⊆\{C\}⊆\{A,C\} {A,C} 

b

​

 ⊆{C}⊆{A,C}。对子集 { A , C } \{A,C\} {A,C}，输入后得到的后继状态属于同一个子集 { A , C } \{A,C\} {A,C}，故不再进行划分

 

∏ =（{A,C}，{B}，{D}，{E}）

根据规则 ③ ，选择 A A A 作为 { A ， C } \{A，C\} {A，C}的代表，将状态 C C C 从状态转换图删去，并将原来引向 C C C 的弧都引至 A A A，这样得到化简后的 DFA M’

 

∏ =（{A}，{B}，{D}，{E}）

 

 

示例2

 

将下图的 DFA 最小化

 

 

 

解：

 

根据规则 ① ，将DFA M的状态集Q分划成两个子集

 

∏ =（{0}，{1,2}）

根据规则 ② ，因为 { 1 , 2 } l = { 2 } ⊆ { 1 , 2 } \{1,2\}_l=\{2\}⊆\{1,2\} {1,2} 

l

​

 ={2}⊆{1,2}， 而 { 1 , 2 } d ⊆ { 2 } ⊆ { 1 , 2 } \{1,2\}_d⊆\{2\}⊆\{1,2\} {1,2} 

d

​

 ⊆{2}⊆{1,2}。对子集 { 1 , 2 } \{1,2\} {1,2}，输入后得到的后继状态属于同一个子集 { 1 , 2 } \{1,2\} {1,2}，故不再进行划分

 

∏ =（{0}，{1,2}）

根据规则 ③ ，选择 1 1 1 作为 { 1 ， 2 } \{1，2\} {1，2}的代表，将状态 2 2 2 从状态转换图删去，并将原来引向 2 2 2 的弧都引至 1 1 1，这样得到化简后的 DFA M’

 

∏ =（{0}，{1}）