Mathematical-Analysis-I-4

4.1 导数与微分

4.1.1 导数概念的引入（略）

4.1.2 导数的定义

也就是说，导数最初的定义是对于一个点而言的。在这个点上可不可导

1. 如果我们将一个点 \(x_0\) 变成所有点 \(x\) ，那么导数就变成了导函数

2. 如果我们将 \(x - x_0\) 换成 \(\Delta x\) 那么这个式子就变成了：

\[\mathop{lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]

注意：对于任意固定的 \(x\) 都求一次 \(\Delta x\) 极限，得到的是当前 \(x\) 的导数值

相关例题

求常数函数 \(f(x) = C\) 在点 \(x_0 \in (-\infty,+\infty)\) 的导数

解： 显然 \(f(x)\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上有定义。
\(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的导数 \(f'(x_0) = \mathop{lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \mathop{lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{C - C}{\Delta x} = 0\)

设函数 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 上有定义，且在点 \(x_0 \in (a,b)\) 处可导，并假设序列 \(\{ x_n \}\) 和 \(\{ y_n \}\) 满足

\[a < x_n < x_0 < y_n < b, \qquad n = 1, 2, \cdots, \]

且有

\[\lim_{n \to \infty} x_n = x_0 = \lim_{n \to \infty} y_n \]

证明：

\[\lim_{n \to \infty} \frac{ f(y_n) - f(x_n) }{y_n - x_n} = f'(x_0) \]

***证：*** ==技巧：== 将 $\Large\frac{ f(y_n) - f(x_n) }{y_n - x_n}$ 转化为 $\Large\frac{ \left(f(y_n) - f(x_0)\right) - \left(f(x_n) - f(x_0)\right) }{y_n - x_n}$ 进一步转化为

\[\frac{ y_n - x_0 }{y_n - x_n}\frac{ f(y_n) - f(x_0) }{y_n - x_0} - \frac{ x_n - x_0 }{y_n - x_n}\frac{ f(x_n) - f(x_0) }{x_n - x_0} \]

4.1.3 单侧可导

(类似单侧连续，单侧极限)右邻域上右可导 \(f'_{+}(x_0)\) ，左邻域上左可导 $ f'_{-}(x_0)$ 。

(类似连续，极限)左右可导且相等 \(\Longleftrightarrow\) 该点处才可导

4.2 导数的运算

4.2.1 导数的四则运算

\[(f(x)\pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \tag{4.2.1-1} \]

\[(f(x) \cdot g(x))' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x) \tag{4.2.1-2} \]

\[\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)\cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^2(x) \tag{4.2.1-3}} \]

初等函数求导公式

1. \((\sin x)' = \cos x\)	2. \((\cos x)' = -\sin x\)
3. \((x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}(\alpha != 0)\)	4. \((C)' = 0\)
5. \((a^x)' = a^x\ln a \,(a > 0)\)	6. \((\log_ax)' = \frac{1}{x\ln a}\)

4.2.2 复合函数求导

\[(f(g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x) \]

由外向内求导。

4.2.3 反函数求导

1. 相关定义

导数

若 \(f(x)\) 在 \(U(x_0,\delta_0)\) 处有定义，且满足

\[\mathop{lim}\limits_{x\to\infty} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \]

则称 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可导，\(f'(x_0)\) 为 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的导数

2. 相关证明