Mathematical-Analysis-I-3
\(\S\) 3.1 函数的极限
重要极限（书上）
常用极限
-
\(\mathop{\lim}\limits_{x \to \infty}\Large \frac{x^k}{a^x} \normalsize= 0\) （通过 \(\mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}\Large \frac{n^k}{a^n} \normalsize= 0, n\in \mathbb{N}\) 证明）
-
所有等价无穷小量
-
\(\mathop{\lim}\limits_{x \to \infty} \large \frac{1}{x} \normalsize = 0\)
-
\(\mathop{\lim}\limits_{x \to 1} \Large \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} \normalsize = \Large \frac{1}{2d}\)
-
\(\mathop{\lim}\limits_{x \to \Box}u(x)^{v(x)} = a ^ b\)
3.2 连续函数
连续函数可移动极限位置：\(\mathop{\lim}\limits_{x \to \Box}f(g(x)) = f(\mathop{\lim}\limits_{x \to \Box}g(x))\)
定理3.3.1：有界性
设 \(f(x)\in C[a,b]\) 则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界。也就是像下图说的那样
无穷大 \(\subset\) 无界
定理3.3.2：最值定理
设 \(f(x) \in C[a,b]\) ，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上必有最小值和最大值。
很好理解，同上图。
定理3.3.3：介值定理
设 \(f(x) \in C[a,b]\) ，设 \(m=\mathop{min}\limits_{x \in [a,b]} \{ f(x) \}\) ，\(M=\mathop{max}\limits_{x\in [a,b]}\{f(x)\}\) ，则对，\(\forall \,\eta \in [m,M]\) ，\(\exists \,\xi \in [a,b]\) 使得 \(f(\xi)=\eta\) ，也即 \(f([a,b]) = [m,M]\)
人话：若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 连续，则在最大最小值之间的任何一个数都至少对应一个 \(x\)
一致连续
理解
一致连续不仅要连续，还要当距离足够近时，函数值没有明显的变化。
反应到图像上，连续就是一笔画曲线，而一致连续不仅要一笔画，还要求特定的区域内图像不能过于陡峭(比如1/x, 在0附近时)。
定理
\(\textrm{cantor}\) 定理
一致连续等价于：变成序列的 \(x_1,x_2\) 之差趋于 \(0\) ，则对应的变成序列的 \(f(x_1), f(x_2)\) 之差也趋于 \(0\)
证明在 \([0,+\infty)\) 上连续的时候，需要取 \(\mathop{[1,+\infty)}\limits_{\textbf{用定义证明}},\mathop{[0,2]}\limits_{\textbf{用cantor}}\) 两个区间，一定要相交！！！保证 \(x_1,x_2\) 落在同一区间
\(\S\) 3.4 无穷小量与无穷大量的阶
-
无穷大量和无穷小量都需要说明 在 \(x\to \Box\) 时
-
\(o(g(x))\)
-
通过 \(\mathop{\lim}\limits_{x \to \infty}\Large \frac{x^k}{a^x} \normalsize= 0\) 可证明 \(x^k=o(a^x)\) , \(\log_ax = o(x^k)\) ，有一种记法： \(\log_a x \prec x^k \prec a^x\)
-
\(f(x) \sim g(x) \Longleftrightarrow f(x) = g(x) = o(g(x))\)
求无穷小量的方法
-
通过等价无穷小量化简
-
如果给了无穷小量的格式并且原式无法化简，那么想办法提出这个格式，使得剩下的部分趋于 \(1\) 。
例：求 \(\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}\;(x \to 0)\) 的形如 \(ax^{\alpha}\) 的等价无穷小量。
这题只能用第二种方法。
想办法提出一个 \(ax^{\alpha}\) 让剩下的部分等于 \(1\) 。显然 \(a=1\) （这个式子不提常数常数是最方便的）。技巧： 考虑到 \(x \to 0\) 时 \(x^{\large\frac{p}{q}}\to 0\; (\frac{p}{q}>0)\) ，故只需要里面次数最小的变为 \(1\) 即可，也就是把最里面的 \(\sqrt{x}\) 变成 \(1\) 。得到
这样就可以得到右边的部分趋于 \(1\; (x \to 0)\) ，我们就求得了等价无穷小量。
同理： \(\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}\;(x \to +\infty)\) 的形如 \(ax^{\alpha}\) 的等价无穷大量，也可通过以下式子得到
相关证明
定理3.3.1：有界性
证明1：
方法很多，这里的第一种方法使用 \(Bolzano-Weierstrass\) 定理和 \(Henie\) 定理
证1：（反证法）
假设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，但是无界. 则根据无界的定义\[\forall \, M>0, \exists\,x_0 \in [a,b], \textrm{使得}\; |f(x)|>M \]无界可以联想到无穷大，但必须取离散的点作为自变量才能保证无穷大。由无穷大可以找矛盾点：在这些离散点的定义下存在极限等于实数。可以考虑 \(Bolzano\) ，然后因为在函数下讨论序列问题，可以考虑用 \(Henie\) 。
则取 \(M\) 等于 \(1,2,\cdots,n\) ，有
\[1>0,\exists\,x_1\in[a,b], |f(x)|>1\\ 2>0,\exists\,x_2\in[a,b], |f(x)|>2\\ \vdots\\ n>0,\exists\,x_n\in[a,b], |f(x)|>n\\ \]从而有 \(\mathop{lim}\limits_{n \to \infty}f(x_n)=\infty\)
现在我们得到了一个数列 \(\{x_n\}\) ，它不一定收敛，但它有界，则有 \(Bolzano\) 定理可得它一定有收敛子列，不妨记作 \(\{x_{n_k}\}\) ，收敛于 \(x_0\)
加之 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续（闭区间，则极限一定能够等于当前点的函数值），结合 \(Henie\) 定理，\(\mathop{lim}\limits_{k\to \infty}x_{n_k}=x_0 \Longrightarrow\mathop{lim}\limits_{k\to\infty}f(x_{n_k})=f(x_0)\)
如果一个数列收敛于一个数或者无穷，那么它的子列也收敛到同一个数或无穷。此处就产生了矛盾。
证毕
证明2
闭区间套
证2：（反证法）
假设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，但是无界，则对于区间 \([a,\frac{a+b}{2}]\) 和 \([\frac{a+b}{2},b]\) ，\(f(x)\) 一定在其中的某个区间内无界。令这个子区间为 \([a_1,b_1]\) 则对于 \([a_1,\frac{a_1+b_1}{2}]\) 和 \([\frac{a_1+b_1}{2},b_1]\) ，\(f(x)\) 一定在其中的某个区间内无界。
如此下去，则可以得到一个闭区间列 \(\{[a_n,b_n]\}\) 满足：
\(1. a_{n-1}\le a_n<b_n\le b_{n-1}\)\(2. \mathop{lim}\limits_{n\to\infty}b_n-a_n=0\)
\(3. f(x)\) 在每个区间上无界
则由闭区间套定理，\(\exists!\,c\in[a_n,b_n],\forall n\in\mathbb{N}\) .
由条件 \(2\) 知 \(\exists n>0\) 使得 \([a_n,b_n] \subset U(c,\delta)\) 即 \(f(x)\) 无界。由连续函数的局部有界性，\(\exists\, \delta>0\) ，使得当 \(\forall x\in U(c,\delta)\) 时，\(f(x)\) 有界。
这与条件 \(3\) 矛盾
证毕
3.3.2 最值定理
证明：
由连续函数的有界性定理，\(f(x)\) 一定有界。
记 \(M=\mathop{sup}\limits_{x\in[a,b]}\{f(x)\}\) ， \(m=\mathop{inf}\limits_{x\in[a,b]} \{ f(x) \}\)
由上确界的定义，可得上确界是 \(f(x)\) 的一个聚点。则存在数列 \(\{ x_n \}\) 使得 \(\mathop{lim}\limits_{n\to\infty} f(x_n) = M\) 。
下面证明存在一个数 \(\xi\) 使得 \(f(\xi) = M\) :设 \(\{ x_{n_k} \}\) 是 \(\{ x_n \}\) 的子列，因为 \(\{ x_{n_k} \}\) 有界，则 \(\{ x_{n_k} \}\) 必收敛，设收敛于 \(x_0\) 。
由 \(Henie\) 定理： \(\mathop{lim}\limits_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = M\)
因为 \(f(x)\) 连续，所以有 \(\mathop{lim}\limits_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f(x_0)\)
故有 \(f(x_0) = M\) 即可以取到最大值。
同理可证最小值
证毕。
定理3.3.3：介值定理
证明：
证： \(m = M\) 时，显然成立。
\(m \ne M\) 时，\(\exists \, x_1,x_2 \in [a,b], \, f(x_1) = m, \, f(x_2) = M\) 。显然当 \(\eta = m\) 或 \(M\) 时成立。
假设 \(x_1 < x_2\)，当 \(\eta \in (m,M)\) 时，定义：\(E = \{ x \in [x_1,x_2]: f(x) > \eta \}\)
显然 \(x_1 \notin E\) ，故 \(x_1\) 是 \(E\) 的下界
显然 \(x_2 \in E\) ，故 \(E\) 非空
因此 \(E\) 一定存在下界。
记 \(\xi = inf\,E\) ，则有 \(x_1 \le \xi <x_2\)
由连续函数的局部保号性知：\(\exists \, \delta > 0, \forall \, x \in (x_1,x_1 + \delta) ,f(x) <= \eta\)
设 \(x_* \in (x_1,x_1 + \delta)\) 因为 \(\xi\) 是下界，故有 \(\xi \ge x_* > x_1\) 因此 \(\xi\) 严格大于 \(x_1\)下证 \(f(\xi) = \eta\) :
由 \(E\) 的定义，\(f(\xi) \ge \eta\) 。
若 \(f(\xi) > \eta\) 则由 \(f(x)\) 在 \(\xi\) 处连续可得：\(\exists \, \delta > 0, \forall \, x \in (\xi - \delta,\xi + \delta) \cap [a,b],f(x) > \eta\)
但因为 \(\xi\) 为下界，故对于 \(x \in (\xi - \delta,\xi),f(x) \le \eta\) ，矛盾
证毕
