Mathematical-Analysis-I-1

实数

常用式

\[\begin{align} & ||x|-|y|| \le |x \pm y| \le |x| +|y|,\qquad\forall x \in \mathbb{R} \\ & \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1,\qquad\forall x\in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right) \\ & \frac{1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n-1} \sqrt{2n+1}}\\ & (a-b)^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b+ \cdots) \end{align} \]

函数的定义

反函数

例 \(1.2.7\) ：求 \(y = \Large \frac{e^x - e^{-x}}{2}\) 的反函数
解：令 \(z=e^x\) ，求出关于 \(z\) 的表达式即可

例 \(1.2.8\) ：设 \(y = f(x)\) 为定义在 \(X\) 上的一个函数，并记 \(Y = f(X)\) ，证明：若存在 \(Y\) 上定义的函数 \(g(x)\) 使得 \(g(f(x)) = x\) 则 \(f(x)\) 的反函数存在，且 \(g = f^{-1}\)

证： 容易证明复合函数为单的充分必要条件为其内外函数均为单。（证明略）
\(g(f(x)) = x \Longleftrightarrow g(Y) = X\) 显然 \(g(x)\) 是单的（一个 \(x\) 对应一个 \(x\) ）
故 \(f(x)\) 也是单的
显然 \(f(x)\) 是满的（一个 \(f(x)\) 对应一个 \(Y\) 中的元素）
故 \(f(x)\) 一一对应，即 \(f^{-1}(x)\) 存在
\(g(f(x)) = g(y) = x = f^{-1}(y)\)

函数的性质

证明无界，无极限等需要找到特殊点，对于三角函数，特殊点要和 \(\pi\) 挂钩

并非所有的周期函数都有基本周期（ \(Dirichlet\) ）

证明周期函数，可以反证法，取一些特殊点（ \(0\) 或者于周期有关的表达式 ）来推矛盾