线性代数Linear-Algebra-2.5

一般线性空间

一、定义

• \(n\)维向量空间 : 非空集合\(F^n=\{(a_1,a_2,\cdots ,a_n)^T \,|\;a_i \in F,i=1,2,\cdots,n\}\)连同加法，数乘称为\(F\)上的\(n\)维空间，其中数乘所用\(k \in F\)。
• 一般线性空间； 设 \(U\)为非空集合（其中的元素不一定是\(n\)维向量）取数域为\(F\)，

1. 定义加法运算：\(\forall \alpha,\beta\in U,\alpha+\beta\in U\)；
2. 定义数乘运算：\(\forall k \in F,\alpha\in U,k\alpha \in U\)；
3. 且满足八大算律：

   1. \((\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)\)（加法结合律）
   2. \(\alpha+\beta=\beta+\alpha\)（加法交换律）
   3. \(\exist \,b, b+ \alpha = \alpha\)（存在零元\(b\)）
   4. \(\exist\, \gamma,\gamma+\alpha=0\) (存在负元\(\gamma\))
   5. \(\exist \,t,t \cdot \alpha = \alpha\)（存在一元\(t\)）
   6. \((\lambda\mu)\alpha=\lambda(\mu\alpha)\)（数乘结合律）
   7. \((k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha\)(数乘交换律1)
   8. \(k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta\)(数乘交换律2)

则称 \(U\) 为 \(F\) 上的线性空间
\(\large \textrm{以上只有死记}\)

特点

• 一般线性空间的加法与数乘是抽象的，是自定义的。
• 一定要满足八大算律
• 在验证的时候完全按照定义的加法与数乘来。

二、简单性质

在线性空间里面元素统称为向量（元素是集合的概念）

1. \(0\)向量是唯一的（ \(0_1 + 0_2 = 0_1\) 而 \(0_1+0_2=0_2\) 故 \(0_1=0_2\) ）
2. 负向量也是唯一的（ \(\beta_1,\beta_2\) 都是 \(\alpha\) 的负向量， \(\beta_1=\beta_1+0=\beta_1+(\beta_2+\alpha)=\beta_2+(\beta_1+\alpha)=\beta_2\) ）
3. \(k\cdot0=0,\quad0\cdot\alpha=0\)
4. \(k\cdot\alpha=0\) 则 \(k=0 \;or\;\alpha=0\)
5. \((-1)\cdot\alpha = -\alpha\)

总结一下：两个唯一，两条零向量性质，一条负向量性质

命题

\(F_F\) 是 \(F\) 上的一维线性空间，任意非零向量都为基, \(\alpha=\alpha\cdot\alpha_1\) （左边的 \(\alpha\) 与右边的 \(\alpha_1\) 都是集合 \(U\) 里的元素，而右边的 \(\alpha\) 为数域 \(F\) 中的数）

\(F\) 表示集合为 \(F\) , \(_F\)表示取的数域为 \(F\) 。若 \(\alpha \in U\) ， \(a \in F\) 则因为数乘封 闭， \(\beta=\alpha\cdot a\) 一定也在 \(F\) 中

三、其他特征（参数）

向量空间本质上是一种特殊的线性空间，故描述向量空间的量也可以描述线性空间，如

线性组合，线性相关，线性无关，极大无关组，秩，维数，基 etc.