poj 2195 Going Home （KM算法）

呃，省赛已经过去了，生活应该继续~~ 好几天没写博了，一直在研究KM算法，今天算是有点小明白了，做了一道模板题练练手。

 

先讲讲我理解的KM算法吧，如果你已经学会二分匹配中的匈牙利算法，那么要理解KM算法就很容易了，其实KM算法就是在匈牙利算法的基础上加上两点的权值。

首先是相等子图的概念：设顶点Xi的顶标为A[ i ]，顶点Yj的顶标为B[ j ]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图称做相等子图。

如果相等子图中有完备匹配，则这个完备匹配就是该二分图的最大权匹配。

再解释下什么叫完备匹配：所谓的完备匹配就是在二部图中，X点集中的所有点都有对应的匹配或者是Y点集中所有的点都有对应的匹配，则称该匹配为完备匹配。

这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。

　　初始时为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[ i ]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。

　　我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：

　　1）两端都在交错树中的边(i,j)，A[ i ]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。

　　2）两端都不在交错树中的边(i,j)，A[ i ]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。

　　3）X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。

　　4）X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。

　　现在的问题就是求d值了。为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于：

　　Min{A[ i ]+B[j]-w[i,j] | Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。

 

看看代码比较好理解：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define maxx 201
#define INF 0xffffff
using namespace std;

struct node
{
    int x ;
    int y ;
}h[maxx] , p[maxx] ;
int mm[maxx][maxx] ;
int vistx[maxx] ,visty[maxx] ;
int lx[maxx] , ly[maxx] ;//顶标
int match[maxx] ;
int tn , tm ;

int find ( int x )
{
    int i ;
    vistx[x] = 1;
    for ( i = 0 ; i < tm ; i++ )
    {
        if ( !visty[i] && lx[x] + ly[i] == mm[x][i] )
        {
            visty[i] = 1;
            if ( match[i] == -1 || find ( match[i] ))
            {
                match[i] = x;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}

int main()
{
    int n , m , i , j , k ;
    char str[maxx];

    while ( scanf ( "%d%d" , &n , &m ) , n + m )
    {
        tn = tm = 0;
        for ( i = 0 ; i < n ; i++ )//存储H和m的位置
        {
            cin>>str;
            for ( j = 0 ; j < m ; j++ )
            {
                if ( str[j] == 'H' )
                {
                    h[tn].x = i;
                    h[tn].y = j;
                    tn++;
                }
                else if ( str[j] == 'm' )
                {
                    p[tm].x = i ;
                    p[tm].y = j ;
                    tm++;
                }
            }
        }
        memset( mm , 0 , sizeof ( mm ));//建立连接
        for ( i = 0 ; i < tn ; i++ )
        for ( j = 0 ; j < tm ; j++ )
        mm[i][j] = abs( h[i].x - p[j].x ) + abs( h[i].y - p[j].y );
        memset( lx , 1 , sizeof( lx ));//初始化lx；
        memset( ly , 0 , sizeof( ly ));//
        for ( i = 0 ; i < tn ; i++ )
        for ( j = 0 ; j < tm ; j++ )
        if ( mm[i][j] < lx[i] )
        lx[i] = mm[i][j] ;//如果是最大权值匹配 则初始值顶标取最大值
                        //若是最小匹配则取最小值
        memset( match , -1 , sizeof ( match ));
        for ( i = 0 ; i < tn ; i++ )
        {
            for ( ; ; )
            {
                memset( vistx , 0 , sizeof ( vistx ));
                memset( visty , 0 , sizeof ( visty ));
                if ( find ( i ))//寻找完备匹配 
                break;
                int minn = INF ;
                for ( j = 0 ; j < tn ; j++ )
                {
                    if ( vistx[j] )//xj点在搜索数上
                    {
                        for ( k = 0 ; k < tm ; k++ )
                        if ( !visty[k] && mm[j][k] - lx[j] -ly[k] < minn )//yk点不在搜索树上，
                        minn = mm[j][k] - lx[j] - ly[k]; //找出顶标最大能改进的d值
                    }
                }
                for ( j = 0 ; j < tn ; j++ )//用d来改进搜索树上各点的顶标
                if ( vistx[j])
                lx[j] += minn ;
                for ( j = 0 ; j < tm ; j++ )
                if ( visty[j] )
                ly[j] -= minn;
            }
        }
        int sum = 0;
        for ( i = 0 ; i < tm ; i++ )
        sum += mm[match[i]][i];
        cout<<sum<<endl;
    }
}