poj 2115 C Looooops(扩展欧几里德)

呃，整整坐了一天，终于弄懂了这题，同时也弄明白了一个知识点——扩展欧几里德算法，真不容易啊！

恩，怎么解释呢，从这道题说起吧。

解这题的思路就是：(a+x*c)%2^k=b,即x*c=(b-a)%2^k。扩展欧几里德算法就是对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，

y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

解x,y的方法为：

1、b=0时，x=1,y=0,gcd(a,b)=a;

2、a*b<>0时，a*x1+b*y1=gcd(a,b);

b*x2+(a%b)*y2=gcd(b,a%b);

根据朴素欧几里德定理知道，gcd(a,b)=gcd(b,a%b);

即a*x1+b*y1=b*x2+(a%b)*y2=b*x2+(a-(a/b)*b)*y2=b*x2+a*y2-(a/b)*b*y2;

根据恒等定理解得：x1=y2;y1=x2-(a/b)*y2;然后用递归的形式算出x1,y1的值。

 

求解(c*x)%2^k=b,m=2^k,最小的非负整数x;即求解c*x + m*y = b，令c=d1*gcd(c, m)，=d2*gcd(c, m)

所以方程变为 d1 * x + d2 * y = b/ gcd(c,m), 若gcd|b，令d3 = b/gcd(b,m)，否则，解不存在。

d1 * x + d2 * y = d3 ，且gcd(d1, d2)=1

利用扩展的欧几里得原理求解d1 * x' + d2 * y' = 1

方程的通解变为 x = x‘ * d3 + d2 * i， y = y’ * d3 - d1 * i。

代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

long long q,x,y;

void extend_gcd(long long a,long long b)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;q=a;
    }
    else
    {
        extend_gcd(b,a%b);
        long long tem=x;
        x=y;
        y=tem-(a/b)*y;
    }
}

__int64 powx(int x)
{
    __int64 s=1;
    for(int i=1;i<=x;i++)
    s*=2;
    return s;
}

int main()
{
    int k;
    long long a,b,c,n,ans;

    while (scanf("%lld%lld%lld%d",&a,&b,&c,&k) != EOF)
    {
        if(a==0 && b==0 && c==0 && k==0)
        break;
        if(a==b)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        n=powx(k);//注意，这里不能用1<<k来求2^k，当k=31时会出错！
        //printf("%I64d\n",n);
        ans=(b-a+n)%n;
        extend_gcd(c,n);
        //printf("%I64d\n",q);
        if(ans%q)
        printf("FOREVER\n");
        else
        {
            ans/=q;
            c/=q;
            n/=q;
            x*=ans;
            x%=n;
            if(x<0)
            x=(x+n)%n;
            printf("%lld\n",x);
        }
    }
    return 0;
}