CF 杂题选做

来源：笔者在vp中认为比较好的一些题目

每道题前会有tag，可以根据自己所需使用。（Ctrl+F请按照表格所给tag）

目前存在tag：难度评分，构造，树形DP

CF1515F

tag：构造，2600

给定一张图，点有点权 $a_u$，每次操作选择两个相邻的点 $(u,v)$，如果 $a_u+a_v\ge x$，则将两个点合并，问最后能否将所有点缩为一个。

思维比较妙的题。容易发现，如果所有的点不在一个连通块中，或者所有点的点权和 $<(n-1)\times x$，那么是无解的。

观察样例，我们发现将所有点合并的过程其实是找出了一棵原图的生成树。那么对于一个有解的图，是否对于任何一棵生成树都是一个合法解呢？我们尝试归纳证明这一点：

在一个图的生成树上，我们对一个叶子进行分类讨论：

• $a_u\ge x$ 那么它能和 $fa$ 直接合并，此时原树变成了一棵 $n-1$ 个点的树，仍然满足限制条件。
• $a_u<x$ 那么我们直接删去这个叶子和这条边，剩下部分一定是满足题意的，我们最后将 $u$ 和 $fa$ 合并即可。

我们的解法也可以基于这一点：在dfs生成树的时候，我们从叶子开始，满足条件的边加入队列中，不满足的放入栈中，按顺序输出队列中和栈中的边即可，由上面的归纳证明可知这样的方案一定是正确的。

CF1276D

tag：树形DP，2900

给定一棵树，树上的所有点都没有颜色，按编号从小到大考虑每条边：如果连接的两点都没被染色，就任取一点染色，加入序列，否则跳过。问不同的染色序列数量。

定义一个点被一条边染色为，选择这条边是将该点染色。

定义一条连接 $u,v$ 的边的编号为 $(u,v)$。

考虑对于树上的一个点 $u$，每个点有四种情况：

• 这个点被父亲边染色了
• 这个点被编号小于父亲边的边染色了
• 这个点被编号大于父亲边的边染色了
• 这个点还没有被染色

我们可以据此设计dp状态：设 $f_{u,0/1/2/3}$ 分别表示 $i$ 被比父亲小的边染色，被父亲染色，比父亲大的边染色，没被染色的方案数，当前遍历到的儿子是 $v$，$w$ 是 $u$ 除 $v$ 外的其他儿子：

• 对于 $f_{u,0/2}$
  • 钦定 $(u,v)$ 这条边将 $u$ 删去，$v$ 此时还未被染色，或者比 $u$ 更晚染色，取 $f_{v,2/3}$。
  • 如果 $(u,w)<(u,v)$，则染色的均为 $w$，或 $w$ 在此之前已经被染色，取 $f_{v,0/1}$。
  • 如果 $(u,w)>(u,v)$，则 $w$ 不会被 $(u,w)$ 这条边染色，取 $f_{v,0/2/3}$。
• 对于 $f_{u,1}$，转移为 $\prod _{(u,v)<(fa,u)}(f_{v,0}+f_{v,1})\prod _{(u,v)>(fa,u)}(f_{v,2}+f_{v,3})$。
• 对于 $f_{v,3}$，转移为 $\prod _v(f_{v,0}+f_{v,1})$。

读者自证不难，答案为 $f_{rt,0}+f_{rt,2}+f_{rt,3}$。

CF1495D

tag：最短路，2600

给定一张图，定义这张图的生成树为从根到任意点的距离均为原图最短路的树，记 $f(i,j)$ 表示同时满足 $i$ 和 $j$ 是树根的生成树的数量。求所有的 $f(i,j)$。

我们研究树的性质，发现如果原来在图上的边是 $(i,j)$ 最短路上的一部分，那么这条边在生成树上也要选择。反证不难。那么如果 $(i,j)$ 之间出现两条以上最短路径时，$f(i,j)$ 是无解的，出现了环。

此时 $(i,j)$ 最短路为必连边。不在最短路上的点，我们考虑有多少点可以做它的 $fa$。对于点 $u,fa$，需要满足 $dis(i,fa)+1=dis(i,u)$ 且 $dis(j,fa)+1=dis(j,u)$。将所有点满足的 $fa$ 数量乘起来即为答案。