可持久化数据结构

现阶段常用的可持久化数据结构大概有以下三类：可持久化线段树、并查集、Trie 树。
因此本文将围绕这三个大类来讲。

1.可持久化线段树/可持久化数组

可持久化线段树本来有一个更为脍炙人口的名字，但由于某些原因我们将其称为可持久化线段树。

考虑在单点修改线段树时，由于线段树高 $\log n$ 层，每层只修改一个节点，因此新建这 $\log n$ 个节点以保存更改后和更改前的值做到可持久化。

如果是区间修改，我们尝试着使用标记永久化，仅在查询时计算标记的贡献，统计出从根节点到当前区间的节点的标记和，再加上这个区间的值即为所求。

区间赋值可以维护时间戳，查询时找时间戳最大的修改的权值。

接下来是可持久化的经典应用：静态区间第 $k$ 小。

首先将权值离散化，按照下标顺序以此将每个值加入线段树，这个线段树维护的是每个值的出现次数，运用可持久化线段树维护每加入一个值后线段树的状态。因此， $l \sim r$ 中每个数出现的次数可以用 $1 \sim r$ 的线段树减去 $1 \sim l - 1$ 的线段树求出，即我们为 $a_{l \sim r}$ 建了一棵线段树。
接下来考虑如何找到第 $k$ 小的值，如果当前区间左儿子的值不足 $k$ ，则向右儿子转移，否则向左儿子转移。每个区间左儿子的值 $v = v a l_{{ls}_{y} - {ls}_{x}}$ ， $x, y$ 分别是区间左端点减 $1$ 和右端点线段树当前节点的编号。这一点可以从线段树的加减法推导得出。
单纯推导比较简单，建议多做例题分析。

2.可持久化并查集

基于可持久化数组。
考虑朴素的并查集 merge，我们只将一个点的 fa 改变了，因此可以用可持久化数组维护各个版本的并查集，此时无法使用路径压缩。因此，可以维护 siz 数组，每次将 siz 较小的向较大的合并。
并查集的应用范围大多用来查询连通性，可以猜测到可持久化并查集可以用来维护带有上下界的连通性问题。例如，按边权顺序加入并查集时，可以查询 $u$ 和 $v$ 之间是否可以通过一条边权不大于 $w$ 的路径到达。