线性变换入门：线性基

本文介绍 \(\rm OI\) 中常见两种线性基：异或线性基和实数线性基。

0. 前置知识：线性空间

先给出群的定义（\(\text{from OI-wiki}\)）：

当一个集合关于某种运算封闭，满足结合律、单位元和逆元则构成群。如果一个群满足交换律，则构成阿贝尔群。
当一个集合关于四则运算封闭，则构成域。例如：\(\mathbb{R},\mathbb{C}\)。

约定：以下用加黑粗体代替向量，如 \(\boldsymbol a\) 代替 \(\vec a\)。
下文中提及的向量，不一定是数学定义上的向量。事实上，只要能满足下文公理的均可以研究。

0.1 定义

线性空间的基本组成：向量集合 \(V\)，域 \(\mathbb{P}\)，加法运算 \(+\) 和数乘运算（也叫标量乘法）。
在向量集合中，单位元为零向量，记作 \(0\)（也可记为 \(\theta\)，在单位元为标量是一般为 \(0\)，向量为 \(\theta\)），\(\boldsymbol a\) 的逆元为 \(-\boldsymbol a\)。
向量加法显然构成交换律，因此 \((V,+)\) 是一个阿贝尔群。
对于数乘，其实就是向量乘法，满足向量乘法的如下性质：

• 对向量有加法分配律：\(\forall \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in V,k\in \mathbb{P},k\cdot(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}) = k\cdot \boldsymbol{u} + k\cdot \boldsymbol{v}\)
• 对标量有加法分配律：\(\forall a,b\in\mathbb{P},\boldsymbol{u}\in V,(a+b)\cdot\boldsymbol{u}=a\cdot\boldsymbol{u}+b\cdot\boldsymbol{u}\)
• 数乘结合律：\(\forall a,b\in\mathbb{P},\boldsymbol{u}\in V,(ab)\boldsymbol{u}=a(b\boldsymbol{u})\)

此时，代数系统 \((V,+,\cdot,\mathbb{P})\) 是关于 \(+\)，\(\cdot\) 构成 \(\mathbb{P}\) 上的一个线性空间。\(\mathbb{P}\) 为线性空间基域，\(\mathbb{P}\) 中，\(V\) 中元素为向量。
特殊地，当 \(\mathbb{P}=\mathbb{R}\) 时，代数系统为实线性空间，当 \(\mathbb{P} = \mathbb{C}\) 时，为复线性空间。
在一个阿贝尔群中，向量的加减法与线性空间中的数乘统称为线性运算。

0.2 性质

在一个线性空间 \((V,+,\cdot,\mathbb{P})\) 中：

1. \(\theta\) 唯一
2. \(\forall \boldsymbol{u} \in V, -\boldsymbol{u}\) 唯一
3. \(\forall k \in \mathbb{P}, k\theta = \theta\)
4. \(\exists 0 \in \mathbb{P}, \forall \boldsymbol{u} \in V, 0 \boldsymbol{u} = \theta\)
5. \(\forall \boldsymbol{u} \in V,(-1)\boldsymbol{u}=-\boldsymbol{u}\)
6. \(\forall \boldsymbol{u} \in V, k \in \mathbb{P}\)，若 \(k \cdot \boldsymbol{u} = \theta\)，则 \(k=0 \lor \boldsymbol{u} = \theta\)