线性变换入门：线性基

本文介绍 $\mathrm{O}\mathrm{I}$ 中常见两种线性基：异或线性基和实数线性基。

0. 前置知识：线性空间

先给出群的定义（$\text{from OI-wiki}$）：

当一个集合关于某种运算封闭，满足结合律、单位元和逆元则构成群。如果一个群满足交换律，则构成阿贝尔群。
当一个集合关于四则运算封闭，则构成域。例如：$\mathbb{R},\mathbb{C}$。

约定：以下用加黑粗体代替向量，如 $\mathit{a}$ 代替 $\overrightarrow{a}$。
下文中提及的向量，不一定是数学定义上的向量。事实上，只要能满足下文公理的均可以研究。

0.1 定义

线性空间的基本组成：向量集合 $V$，域 $\mathbb{P}$，加法运算 $+$ 和数乘运算（也叫标量乘法）。
在向量集合中，单位元为零向量，记作 $0$（也可记为 $\theta$，在单位元为标量是一般为 $0$，向量为 $\theta$），$\mathit{a}$ 的逆元为 $-\mathit{a}$。
向量加法显然构成交换律，因此 $(V,+)$ 是一个阿贝尔群。
对于数乘，其实就是向量乘法，满足向量乘法的如下性质：

• 对向量有加法分配律：$\mathrm{\forall }\mathit{u},\mathit{v}\in V,k\in \mathbb{P},k\cdot (\mathit{u}+\mathit{v})=k\cdot \mathit{u}+k\cdot \mathit{v}$
• 对标量有加法分配律：$\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{P},\mathit{u}\in V,(a+b)\cdot \mathit{u}=a\cdot \mathit{u}+b\cdot \mathit{u}$
• 数乘结合律：$\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{P},\mathit{u}\in V,(ab)\mathit{u}=a(b\mathit{u})$

此时，代数系统 $(V,+,\cdot ,\mathbb{P})$ 是关于 $+$，$\cdot$ 构成 $\mathbb{P}$ 上的一个线性空间。$\mathbb{P}$ 为线性空间基域，$\mathbb{P}$ 中，$V$ 中元素为向量。
特殊地，当 $\mathbb{P}=\mathbb{R}$ 时，代数系统为实线性空间，当 $\mathbb{P}=\mathbb{C}$ 时，为复线性空间。
在一个阿贝尔群中，向量的加减法与线性空间中的数乘统称为线性运算。

0.2 性质

在一个线性空间 $(V,+,\cdot ,\mathbb{P})$ 中：

1. $\theta$ 唯一
2. $\mathrm{\forall }\mathit{u}\in V,-\mathit{u}$ 唯一
3. $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{P},k\theta =\theta$
4. $\mathrm{\exists }0\in \mathbb{P},\mathrm{\forall }\mathit{u}\in V,0\mathit{u}=\theta$
5. $\mathrm{\forall }\mathit{u}\in V,(-1)\mathit{u}=-\mathit{u}$
6. $\mathrm{\forall }\mathit{u}\in V,k\in \mathbb{P}$，若 $k\cdot \mathit{u}=\theta$，则 $k=0\vee \mathit{u}=\theta$