[ZJOI2014]力解题报告

一个经典题。

Statement

给定 $q_{i}$ ，求 $\forall i \in [1, n]$ ，

\sum_{j = 1}^{i - 1} \frac{q_{i} \times q_{j}}{(i - j)^{2}} \times \frac{1}{q_{i}} - \sum_{j = i + 1}^{n} \frac{q_{i} \times q_{j}}{(i - j)^{2}} \times \frac{1}{q_{i}}

$n \leq 10^{5}, q_{i} < 10^{9}$

Analysis

一眼推式子题。
原式 $= \sum_{j = 1}^{i - 1} \frac{q_{j}}{(i - j)^{2}} - \sum_{j = i + 1}^{n} \frac{q_{j}}{(i - j)^{2}}$
为书写方便，下文 $i, j$ 互换。同时两个 $\sum$ 都加一个 $i = j$ 的部分，对答案没有影响。
式子就变成了 $\sum_{i = 1}^{j} \frac{q_{i}}{(i - j)^{2}} - \sum_{i = j}^{n} \frac{q_{i}}{(i - j)^{2}}$ 。
按照常规套路，看到多项式相乘首先应该想到卷积。
不妨假设 $f_{i} = q_{i}, g_{i} = \frac{1}{i^{2}}$ ，
原式 $= \sum_{i = 1}^{j} f_{i} g_{i - j} - \sum_{i = j}^{n} f_{i} g_{i - j}$ 。
如果我们假设 $f_{0} = 0, g_{0} = 0$ ，原式的前半部分可以变成 $\sum_{i = 0}^{j} f_{i} g_{i - j}$ ，是一个标准的卷积式子。
接下来考虑右半边，同时减去一个 $j$ 可得 $\sum_{i = 0}^{n - j} f_{i + j} g i$ 。
我们需要卷积式子，那么 $i + j$ 的形式在我们眼中是不优美的。事实上，我们需要一个 $(n - j) - i$ ，而根据观察，它恰好是 $f$ 的翻转。于是我们引入 $f_{i}^{'} = f_{n - i}$ ，令 $l i m = n - j$ ，原式就变成了 $\sum_{i = 0}^{l i m} f_{l i m - i}^{'} g_{i}$ ，也成为了卷积式子。
于是本题完成，~~使用任何你喜欢的多项式做法均可通过本题~~。