交叉熵 相对熵

交叉熵（cross entropy）是深度学习中常用的一个概念，一般用来求目标与预测值之间的差距。

1 信息量

假设XX是一个离散型随机变量，其取值集合为χχ,概率分布函数p(x)=Pr(X=x),x∈χp(x)=Pr(X=x),x∈χ,则定义事件X=x0X=x0的信息量为：

 

 

I(x0)=−log(p(x0))I(x0)=−log(p(x0))

由于是概率所以p(x0)p(x0)的取值范围是[0,1][0,1],绘制为图形如下： 

 

 
可见该函数符合我们对信息量的直觉

 

2 熵

考虑另一个问题，对于某个事件，有nn种可能性，每一种可能性都有一个概率p(xi)p(xi) 
这样就可以计算出某一种可能性的信息量。举一个例子，假设你拿出了你的电脑，按下开关，会有三种可能性，下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量

序号	事件	概率p	信息量I
A	电脑正常开机	0.7	-log(p(A))=0.36
B	电脑无法开机	0.2	-log(p(B))=1.61
C	电脑爆炸了	0.1	-log(p(C))=2.30

注：文中的对数均为自然对数

我们现在有了信息量的定义，而熵用来表示所有信息量的期望，即： 

 

H(X)=−∑i=1np(xi)log(p(xi))H(X)=−∑i=1np(xi)log(p(xi))

 

其中n代表所有的n种可能性，所以上面的问题结果就是 

 

H(X)===−[p(A)log(p(A))+p(B)log(p(B))+p(C))log(p(C))]0.7×0.36+0.2×1.61+0.1×2.300.804H(X)=−[p(A)log(p(A))+p(B)log(p(B))+p(C))log(p(C))]=0.7×0.36+0.2×1.61+0.1×2.30=0.804

 

然而有一类比较特殊的问题，比如投掷硬币只有两种可能，字朝上或花朝上。买彩票只有两种可能，中奖或不中奖。我们称之为0-1分布问题（也叫二项分布），对于这类问题，熵的计算方法可以简化为如下算式： 

 

H(X)==−∑i=1np(xi)log(p(xi))−p(x)log(p(x))−(1−p(x))log(1−p(x))H(X)=−∑i=1np(xi)log(p(xi))=−p(x)log(p(x))−(1−p(x))log(1−p(x))

 

3 相对熵（KL散度）

相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布 P(x) 和 Q(x)，我们可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异

维基百科对相对熵的定义

In the context of machine learning, DKL(P‖Q) is often called the information gain achieved if P is used instead of Q.

即如果用P来描述目标问题，而不是用Q来描述目标问题，得到的信息增量。

在机器学习中，P往往用来表示样本的真实分布，比如[1,0,0]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布，比如[0.7,0.2,0.1] 
直观的理解就是如果用P来描述样本，那么就非常完美。而用Q来描述样本，虽然可以大致描述，但是不是那么的完美，信息量不足，需要额外的一些“信息增量”才能达到和P一样完美的描述。如果我们的Q通过反复训练，也能完美的描述样本，那么就不再需要额外的“信息增量”，Q等价于P。

KL散度的计算公式： 

 

DKL(p||q)=∑i=1np(xi)log(p(xi)q(xi))(3.1)(3.1)DKL(p||q)=∑i=1np(xi)log(p(xi)q(xi))

n为事件的所有可能性。 
DKLDKL的值越小，表示q分布和p分布越接近

 

4 交叉熵

对式3.1变形可以得到： 

 

DKL(p||q)==∑i=1np(xi)log(p(xi))−∑i=1np(xi)log(q(xi))−H(p(x))+[−∑i=1np(xi)log(q(xi))]DKL(p||q)=∑i=1np(xi)log(p(xi))−∑i=1np(xi)log(q(xi))=−H(p(x))+[−∑i=1np(xi)log(q(xi))]

 

等式的前一部分恰巧就是p的熵，等式的后一部分，就是交叉熵： 

 

H(p,q)=−∑i=1np(xi)log(q(xi))H(p,q)=−∑i=1np(xi)log(q(xi))

 

在机器学习中，我们需要评估label和predicts之间的差距，使用KL散度刚刚好，即DKL(y||y^)DKL(y||y^)，由于KL散度中的前一部分−H(y)−H(y)不变，故在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用用交叉熵做loss，评估模型。

机器学习中交叉熵的应用

1 为什么要用交叉熵做loss函数？

在逻辑回归问题中，常常使用MSE（Mean Squared Error）作为loss函数，比如： 

 

loss=12m∑i=1m(yi−yi^)2loss=12m∑i=1m(yi−yi^)2

 

这里的m表示m个样本的，loss为m个样本的loss均值。 
MSE在逻辑回归问题中比较好用，那么在分类问题中还是如此么？