一.李群的定义
定义：设$G$为一个具有坐标结构的流形，我们称$G$为一个李群，如果
1.在$G$上有一个群结构
2.由群结构诱导的映射$G\times G\to G$($(x,y)\mapsto x\cdot y^{-1}$)是$C^\infty$映射
我们有如下一些例子$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$$\newcommand{\C}{\mathbb{C}}$
- $M_n(\R)$($M_n(\C)$)，即$n\times n$的实（复）矩阵与矩阵加法构成李群
- $GL_n(\R)$($GL_n(\C)$)$=\{A\in M_n(\R)| A\mbox{ 可逆 }\}$与矩阵乘法构成李群
- $SL_n(\R)=\{A\in GL_n(\R)|\det A=1\}$与矩阵乘法称为特殊线性群
- $O(n)=\{A\in M_n(\R)|A^t A=I\}$称为正交群
而$U(n)=\{A\in M_n(\C)|A^*A=I\}$,其中$A^*$为共轭转置称为酉群 - $SO(n)=\{A\in O(n),A\in SL_n(\R)\}$,$SU(n)=\{A\in U(n),A\in SL_n(\C)\}$
特别地，我们可以显示写出一些李群如下：
- $U(1)=\{M_n(\C)|\bar{a} a=1\}=e^{i\theta}$,关于$a$的乘法可以看作在$\R /2\pi$上的加法，显然可以看出它是交换群
- $$SU(2)=\left\{\left.\begin{bmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar{\beta} & \bar{\alpha}\end{bmatrix}\right| |\alpha|^2+|\beta|^2=1\right\},$$这是因为如果$\begin{bmatrix}\alpha& \beta \\ \gamma & \delta\end{bmatrix}\in SU(2)$,则应该有
$$\begin{bmatrix}\bar{\alpha}&\bar{\gamma} \\ \bar{\beta} & \bar{\delta}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha& \beta \\ \gamma & \delta\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{|\det|}\begin{bmatrix}\delta& -\beta \\ -\gamma & \alpha\end{bmatrix}.$$
故而有$\delta=\bar{\alpha},\gamma=-\bar{\beta}$。同理可以求出$$SO(2)=\left\{\left.\begin{bmatrix}\alpha& \beta \\ -\beta& \alpha\end{bmatrix}\right|\alpha^2+\beta^2=1\right\}$$
二.指数映射
设$G$为李群，$e$为$G$的单位元，$g=T_eG$为流形$G$在$e$处的切空间。以下给出一些切空间的例子:
- $T_e M_n(\R)=M_n(\R)$
- $T_e GL_n(\R)=M_n(\R)$(考虑$\gamma=\exp(t X)$即可)
- $T_e O(n)=\{A\in M_n(\R)| A^T=-A\}=\{\mbox{全部反对称矩阵}\}$
证明3：由于$O(n)\hookrightarrow M_n(\R)$,$p=e=I$,对于落在$O(n)$中的一条曲线$\gamma:(-\epsilon,\epsilon)\to M_n(\R)\cap O(n)$,且$\gamma(0)=I$,我们就有$\dot{\gamma}(o)=T_e O(n)$,所以要证明结论，先证明$T_eO(n) \subset \{A\in M_n(\R)|A^t=-A\}$
设$\gamma(t)$为满足上述条件的曲线，那么我们有$\gamma(t)^T\gamma(t)=I$,两边求导得到$(\dot{\gamma}(t))^T\cdot \gamma(t)+\gamma(t)^T\cdot \dot{\gamma}(t)=0$,限制在$t=0$就有$\dot{\gamma}(0)\in \{A\in M_n(\R)| A^T=-A\}$,即$T_e O(n)\subset \{A\in M_n(\R)| A^T=-A\}$.
反过来，对于$\forall A\in \{A\in M_n(\R)| A^T=-A\}$,要证明$\gamma(t)=\exp(tA)$为$O(n)$中某曲线的切向量。显然由于$\gamma(t)\in O(n)$，且$\dot\gamma(0)=A$成立，故而成立。$\square$
由此我们可以看出，$\exp$这样一个映射在切空间的刻画中至关重要，我们可以有如下的结论：
定理 (1)指数映射$\exp:M_n(\R)\to GL_n(\R)$是$GL_n(\R)$在$I$附近的局部坐标系（即在$I$附近微分同胚）
(2)$\exp:\{A^t=-A\}\to O(n)$同为在$I$附近局部坐标系。
证明略去，但是这样指数映射的想法可以推广到任意黎曼流形，即黎曼流形中的指数映射。
三.李代数
定义 设$V$为一个向量空间，我们称$V$为一个李代数，如果
(1)在$V$上还有个运算$[\cdot,\cdot]:V\times V\to V$，称为李括号
(2)李括号满足雅可比性质$[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0$
以下几个例子给出了最基础的李代数：
- $V$为向量空间，定义$[X,Y]=0$则构成李代数，称为平凡李代数。
- $V$为流形上所有光滑向量丛全体$\chi(M)$,那么$V$关于向量场的李括号成为李代数。
- $\mathbb{R}^3$在$[X,Y]=X\times Y$,即叉乘下构成李代数。
定理 设$G$为李群，那么在$g=T_eG$有李代数结构$[X,Y]=XY-YX$.
由于这个定理的证明超出本文需要之外，故而省去，不过可以很容易验证在$G=O(n)$时候这样的运算构成李代数。一个简单的例子如下：
在$SO(3)$上，我们同样有$g=T_eSO(3)=\{A\in M_3(\R)|A^t=-A\}$这样$$A=\begin{bmatrix}0 & x & y \\ -x & 0 & z \\ -y & -z & 0\end{bmatrix}\mapsto \begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix}$$而通过计算很容易可以看出，$SO(3)$和$\R^3$上定义的李代数结构是一样的！
为了区分李群和李代数，我们将所有李代数的字母写为哥特字体。有如下的例子$\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}$
- $\mathfrak{o}(n)$为$O(n)$ 的李代数，我们有$\mathfrak{o}(n)=\{A|A^T=-A\}$
- $\mathfrak{so}(n)=\{A|A^T=-A\}$为$SO(n)$的李代数，它与$\mathfrak{o}(n)$相同，是因为$SO(n)$恰在$O(n)$中$e$所在的连通分支
- $\mathfrak{u}(n)=T_e U(n)=\{A\in M_n(\C)|A^*=-A\}=\{反对称的Hermitian矩阵\}$构成$U(n)$的李代数
- $\mathfrak{su}(n)=T_e SU(n)=\{A\in M_n(\C)|A^*=-A,\tr A=0\}$是为$SU(n)$的李代数
由于$SU(n)$的李代数比较难以计算，我们考虑$SU(2)=\left\{\left.\begin{bmatrix}\alpha & \beta \\ -\bar{\beta} & \bar{\alpha}\end{bmatrix}\right| |\alpha|^2+|\beta|^2=1,\alpha,\beta\in\C \right\}$的李代数，即求切空间$T_e SU(2)$。即我们考虑过$e$的曲线$\gamma(t)=\begin{bmatrix}\alpha(t) & \beta(t) \\ -\bar{\beta}(t) & \bar{\alpha}(t)\end{bmatrix}$,显然有$\gamma'(0)=\begin{bmatrix}\alpha'(0) & \beta'(0) \\ -\bar{\beta}'(0) & \bar{\alpha}'(0)\end{bmatrix}$,而又由于条件$\alpha(t)\bar{\alpha}(t)+\beta(t)\bar{\beta}(t)=1$，故而就有$$\alpha'(t)\bar{\alpha}(t)+\alpha(t)\bar{\alpha}'(t)+\beta'(t)\bar{\beta}(t)+\beta(t)\bar{\beta}'(t)=0$$将$\alpha(0)=1,\beta(0)=0$带入得知$\alpha'(0)+\bar{\alpha}'(0)=0$，于是我们就有$$\mathfrak{so}(2)=\left\{\left.\begin{bmatrix}i\alpha & \bar{\beta}\\ -\bar{\beta}&-i\alpha\end{bmatrix}\right|\alpha\in\R,\beta\in \C\right\}.$$这是由于另一部分我们可以很简单用指数映射证明包含关系。
注记：
1. 令人惊奇的是，$\mathfrak{su}(2)\cong \mathfrak{so}(3)\cong\mathbb{R}^3$在李代数下代数同构，而$SU(2)\cong SO(3)$同为同构。
2. $O(n)$与$U(n)$的几何意义：保定向的群。具体来说在$\R^n$或$\C^n$中保持内积的自同构，也即$\langle A x,AY\rangle= \langle x,y\rangle$。
四.光滑映射的“导数”
在这一小节里我们主要讨论切空间上的诱导映射，不过在一个比较初等的形式下。$\newcommand{\p}{\partial}$
令$F:M\to N$，其中$M\subset \R^n$,$N\subset \R^m$为开集，那么$F$可以写成$x=(x^1,x^2,\ldots,x^n)\mapsto y=F(x)=(F_1(x)m\ldots,F_m(x))$，而这一函数可以诱导切空间$TM\to TN$的映射。$F_*:T_xM\to T_{F(x)}N$，将切向量$V_x\mapsto F_*(V_x)$,即对任意光滑函数$f(y^1,\ldots,y^m)$定义$F_*(V_x)f=V_x(f\circ F)$，局部来说，若在$T_x M$上有基$\{\frac{\p }{\p x^1},\ldots,\frac{\p}{\p x^n}\}$,则有$$F_*\left(\frac{\p }{\p x^i}\right)f=\frac{\p}{\p x^i}(f\circ F)=\frac{\p}{\p x^i}f(F_1(x),\ldots,F_m(x))=\sum_{j=1}^m\frac{\p y^j}{\p x^i}\frac{\p f}{\p y^j}.$$用矩阵的写法即为$$\begin{bmatrix}F_*\left(\frac{\p }{\p x^1}\right)\\ \vdots \\ F_*\left(\frac{\p }{\p x^n}\right)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{\p y^1}{\p x^1} &\cdots & \frac{\p y^m}{\p x^1}\\ \vdots & & \vdots \\ \frac{\p y^1}{\p x^n}& \cdots & \frac{\p y^m}{\p x^m}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{\p }{\p y^1}\\ \vdots \\ \frac{\p }{\p y^m}\end{bmatrix}$$
而用张量的表示方法则是$$dF=\frac{\p F_j(x)}{\p x^i}dx^i\otimes \frac{\p }{\p y^j}$$对于这样的结果，很自然的可以推广到流形的局部坐标系上。
五.李群的双不变度量
在李群$G$上有群结构，于是存在两个自然地映射称为左作用与右作用如下$$L_h(k)=h\cdot k,\quad R_h(k)=k\cdot h^{-1},\quad \forall h,k\in G$$，利用这样一个自同构映射，我们可以从李代数$\mathfrak{g}$构造出到$\chi(G)$的映射，也即左不变或右不变的向量场，令$X\in \mathfrak{g}$,那么定义左不变向量场在点$h$的取值$$X_h=(L_h)_*(X)=\frac{d}{dt}(h\cdot \exp tX)|_{t=0}$$
一个微分流形$M$上我们可以定义黎曼度量，这是指在$M$的每点$x$上切空间的正定内积$\langle\cdot,\cdot\rangle_x$,使得对于任意光滑向量场X与Y，$\langle X,Y\rangle$是在$M$上的光滑函数。而对于李群来说，我们有更有趣的度量。称为左不变度量即其满足$\langle X,Y\rangle_k=\langle (L_h)_*X,(L_h)_*Y\rangle$,对于任意$k,h\in G,X,Y\in T_k G$成立。而双不变度量则是既左不变也右不变的度量。对于左不变度量，很容易看出我们有如下的刻画
命题：$G$上左不变度量$\langle \cdot,\cdot\rangle$以及$g=T_e G$的内积存在一一对应
而对于双不变度量也有类似结果$\newcommand{\la}{\langle\langle}$$\newcommand{\ra}{\rangle\rangle}$
命题：$G$上双不变度量$\langle \cdot,\cdot\rangle$与$g=T_e G$的$Ad$不变内积$\la\cdot,\cdot\ra$存在一一对应
其中$Ad(A)X=AXA^{-1}$,也即$\la Ad(A)X,Ad(A)Y\ra=\la X,Y\ra$。以下我们给出一些例子，即在$SO(n)$与$SU(n)$上找出双不变度量，也即在李代数$\mathfrak{so}(n)$以及$\mathfrak{su}(n)$上找$Ad$不变的内积。
例：在$\mathfrak{so}(n)=\{A^T=-A\}$上$Ad$不变的内积为$\la A,B\ra=-\tr(A\cdot B),\forall A,B\in \mathfrak{so}(n)$。
证明：$$\la Ad(h)A,Ad(h)B\ra = -\tr(Ad(h)A\cdot Ad(h)B)=-\tr(hABh^{-1})=-\tr(AB)=\la A,B\ra$$
例：$\mathfrak{su}(n)=\{A\in M_n(\C)|A^T=-A,\tr A=0\}$的不变度量同为$\la A,B\ra=-\tr(AB)$，特别地，对于$\mathfrak{su}(2)$而言，$$\la A,\tilde{A}\ra = \la \begin{bmatrix}i\alpha & \beta\\-\bar{\beta} & i\alpha\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i\tilde{\alpha} & \tilde{\beta}\\-\bar{\tilde{\beta}} & i\tilde{\alpha}\end{bmatrix}\ra=2(\alpha\tilde{\alpha}+\beta\bar{\tilde{\beta}}+\bar{\beta}\tilde{\beta})$$
