抽象代数 - 一些群

1.集合$X$的所有置换构成的集合$S_X$在合成运算下是一个群。特别地，$X=\{1,2,\dots ,n\}$的所有置换构成的集合$S_n$是一个群。

2.整数集$\mathbb{Z}$是一个加法阿贝尔群，其中$a\ast b=a+b$，单位元$e=0$，整数$n$的逆元为$-n$。类似地，可以看出$\mathbb{Q}$，$\mathbb{R}$和$\mathbb{C}$都是加法阿贝尔群。

3.所有非零有理数构成的集合${\mathbb{Q}}^{\times }$是一个阿贝尔群，其中$\ast$是普通乘法，数$1$是单位元，$r\in {\mathbb{Q}}^{\times }$的逆元是$1⁄r$。类似地，${\mathbb{R}}^{\times }$和${\mathbb{C}}^{\times }$都是乘法阿贝尔群。

4.中心为原点半径为$1$的圆$S^1$可以看成一个乘法阿贝尔群，若把它的点看作是模为$1$的复数。圆群定义为

$S^1=\{z\in \mathbb{C}:|z|=1\}$其中运算是复数的乘法，这是$S^1$上的一个运算。当然，复数的乘法是满足结合律的，单位元是$1$（其模为$1$），且任何模为$1$的复数的逆元是它的复共轭，其模也为$1$。因为，$S^1$是一个群。即使$S^1$是一个阿贝尔群，仍然用乘法来写它，因为用加法写会产生麻烦。

5.对任意正帧数$n$，设

${\Gamma }_n=\{{\zeta }^k:0\le k<n\}$是所有$n$次单位根构成的集合，其中$\zeta =e^{2\pi i⁄n}=cos(2\pi ⁄n)+isin(2\pi ⁄n)$
可以利用棣莫弗定理看出${\Gamma }_n$带上复数乘法是一个阿贝尔群。而且，任何单位根的逆元都是它的复共轭。

6.平面$\mathbb{R}\times \mathbb{R}$带上向量加法是一个加法阿贝尔群，即若$\mathit{v}=(x,y)$，${\mathit{v}}^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime })$，则$\mathit{v}+{\mathit{v}}^{\prime }=(x+x^{\prime },y+y^{\prime })$。单位元是原点$O=(0,0)$，$\mathit{v}=(x,y)$的逆元是$-\mathit{v}=(-x,-y)$。

7.奇偶群$\mathcal{P}$有两个元素“偶”和“奇”，其运算是

偶$+$偶$=$偶$=$奇$+$奇和偶$+$奇$=$奇$=$奇$+$偶

8.设$X$是一个集合。布尔群$\mathcal{B}(X)$是指$X$的所有子集构成的族带上对称差运算。
显然，$A+B=B+A$，所以对称差是交换的。单位元是空集$\varnothing$，$A$的逆元是$A$本身，因为$A+A=\varnothing$。因此，$\mathcal{B}(X)$是一个阿贝尔群。

9.一个（$2\times 2$实）矩阵$A$是$\left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]$，其中$a,b,c,d\in \mathbb{R}$。若$B=\left[\begin{array}{cc}w& y\\ x& z\end{array}\right]$，则积$AB$定义为

$AB=\left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}w& y\\ x& z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}aw+cx& ay+cz\\ bw+dx& by+dz\end{array}\right]$元素$a,b,c,d$称为$A$的元素。称$(a,c)$为$A$的第一行，称$(b,d)$为第二行；称$(a,b)$为$A$的第一列，$(c,d)$为第二列。因此，积$AB$的每个元素是$A$的一行和$B$的一列的点积。$A$的行列式，记为$\text{det}(A)$，是数$ad-bc$。矩阵$A$称为非奇异的，若$\text{det}(A)\ne 0$。可以计算得$\text{det}(AB)=\text{det}(A)\text{det}(B)$由此得非奇异矩阵的积是非奇异的。所有非奇异矩阵构成的集合$\text{GL}(2,\mathbb{R})$带上矩阵乘法是一个（非阿贝尔）群，称为$2\times 2$实一般线性群：单位群是单位矩阵$I=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$非奇异矩阵$A$的逆元是$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}d⁄\Delta & -c⁄\Delta \\ -b⁄\Delta & a⁄\Delta \end{array}\right]$其中$\Delta =ad-bc=\text{det}(A)$。

10.前面这个例子可以从两个方面修改。首先，可以允许元素属于$\mathbb{Q}$或$\mathbb{C}$，这就给出了群$\text{GL}(2,\mathbb{Q})$或$\text{GL}(2,\mathbb{C})$。甚至可以允许元素属于$\mathbb{Z}$，此时定义$\text{GL}(2,\mathbb{Z})$为所有行列式为$\pm 1$的矩阵构成的集合。此外，所以非奇异$n\times n$矩阵带上矩阵乘法构成群$\text{GL}(n,\mathbb{R})$。

11.所以特殊正交矩阵，即所有形如

$A=\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]$的矩阵构成一个群，记为$SO(2,\mathbb{R})$，并称为$2\times 2$特殊正交群。下面证明矩阵乘法是$SO(2,\mathbb{R})$上的一个运算。积$\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{array}\right]$是$\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta & -\cos \alpha \sin \beta -\sin \alpha \cos \beta \\ \sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta & \cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \end{array}\right]$正弦和余弦的加法定理表明这个积还是一个特殊正交矩阵，因为它等于$\left[\begin{array}{cc}\cos (\alpha +\beta )& -\sin (\alpha +\beta )\\ \sin (\alpha +\beta )& \cos (\alpha +\beta )\end{array}\right]$事实上，这个计算表明$SO(2,\mathbb{R})$是阿贝尔群。显然，单位矩阵是特殊正交的，一个特殊正交矩阵的逆元（因为特殊正交矩阵的行列是为$1$，所以逆元存在）也是特殊正交的。
此外，$SO(2,\mathbb{R})$是与圆群$S^1$同构的群，且这个群由平面绕原点的所有旋转构成。

12.仿射群$\text{Aff}(1,\mathbb{R})$是由所有形如

$f_{a,b}(x)=ax+b$的函数$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$（称为仿射映射）构成的，其中$a$和$b$是固定的实数，且$a\ne 0$。下面检验$\text{Aff}(1,\mathbb{R})$带上合成运算作成一个群。若$f_{c,d}(x)=cx+d$，则$\begin{array}{ccl}{f}_{a,b}{f}_{c,d}(x)& =& f_{a,b}\left(cx+d\right)\\ & =& a\left(cx+d\right)+b\\ & =& acx+\left(ad+b\right)\\ & =& f_{ac,\mathit{ad}+b}(x)\end{array}$由于$ac\ne 0$，所以合成是一个仿射映射，恒等函数$1_{\mathbb{R}}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$是仿射映射（$1_{\mathbb{R}}=f_{1,0}$），容易看出$f_{a,b}$的逆元是$f_{a^{-1},-a^{-1}b}$，注意到下面合成是矩阵乘法：$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}c& d\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}ac& ad+b\\ 0& 1\end{array}\right]$类似地，用$\mathbb{Q}$替换$\mathbb{R}$得到$\text{Aff}(1,\mathbb{Q})$，用$\mathbb{C}$替换$\mathbb{R}$得到$\text{Aff}(1,\mathbb{C})$。




参考
JOSEPH, J. (2006). 抽象代数基础教程. 北京: 机械工业出版社.