抽象代数 - 一些群

1.集合\(X\)的所有置换构成的集合\(S_X\)在合成运算下是一个群。特别地，\(X=\{1,2,…,n\}\)的所有置换构成的集合\(S_n\)是一个群。

2.整数集\(\mathbb{Z}\)是一个加法阿贝尔群，其中\(a*b=a+b\)，单位元\(e=0\)，整数\(n\)的逆元为\(-n\)。类似地，可以看出\(\mathbb{Q}\)，\(\mathbb{R}\)和\(\mathbb{C}\)都是加法阿贝尔群。

3.所有非零有理数构成的集合\(\mathbb{Q}^×\)是一个阿贝尔群，其中\(*\)是普通乘法，数\(1\)是单位元，\(r∈\mathbb{Q}^×\)的逆元是\(1⁄r\)。类似地，\(\mathbb{R}^×\)和\(\mathbb{C}^×\)都是乘法阿贝尔群。

4.中心为原点半径为\(1\)的圆\(S^1\)可以看成一个乘法阿贝尔群，若把它的点看作是模为\(1\)的复数。圆群定义为

\(S^1=\{z∈\mathbb{C}:|z|=1\}\)其中运算是复数的乘法，这是\(S^1\)上的一个运算。当然，复数的乘法是满足结合律的，单位元是\(1\)（其模为\(1\)），且任何模为\(1\)的复数的逆元是它的复共轭，其模也为\(1\)。因为，\(S^1\)是一个群。即使\(S^1\)是一个阿贝尔群，仍然用乘法来写它，因为用加法写会产生麻烦。

5.对任意正帧数\(n\)，设

\(Γ_n=\{ζ^k:0≤k<n\}\)是所有\(n\)次单位根构成的集合，其中\(ζ=e^{2πi⁄n}=cos⁡(2π⁄n)+i sin⁡(2π⁄n)\)
可以利用棣莫弗定理看出\(Γ_n\)带上复数乘法是一个阿贝尔群。而且，任何单位根的逆元都是它的复共轭。

6.平面\(\mathbb{R}×\mathbb{R}\)带上向量加法是一个加法阿贝尔群，即若\(\bm{v}=(x,y)\)，\(\bm{v}'=(x',y')\)，则\(\bm{v}+\bm{v}'=(x+x',y+y')\)。单位元是原点\(O=(0,0)\)，\(\bm{v}=(x,y)\)的逆元是\(-\bm{v}=(-x,-y)\)。

7.奇偶群\(\mathcal{P}\)有两个元素“偶”和“奇”，其运算是

偶\(+\)偶\(=\)偶\(=\)奇\(+\)奇和偶\(+\)奇\(=\)奇\(=\)奇\(+\)偶

8.设\(X\)是一个集合。布尔群\(\mathcal{B}⁡(X)\)是指\(X\)的所有子集构成的族带上对称差运算。
显然，\(A+B=B+A\)，所以对称差是交换的。单位元是空集\(∅\)，\(A\)的逆元是\(A\)本身，因为\(A+A=∅\)。因此，\(\mathcal{B}⁡(X)\)是一个阿贝尔群。

9.一个（\(2×2\)实）矩阵\(A\)是\(\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}\)，其中\(a,b,c,d∈\mathbb{R}\)。若\(B=\begin{bmatrix}w&y\\x&z\end{bmatrix}\)，则积\(AB\)定义为

\(AB=\begin{bmatrix}a&c \\ b&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}w&y\\x&z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}aw+cx&ay+cz \\ bw+dx&by+dz\end{bmatrix}\)元素\(a,b,c,d\)称为\(A\)的元素。称\((a,c)\)为\(A\)的第一行，称\((b,d)\)为第二行；称\((a,b)\)为\(A\)的第一列，\((c,d)\)为第二列。因此，积\(AB\)的每个元素是\(A\)的一行和\(B\)的一列的点积。\(A\)的行列式，记为\(\mbox{det}⁡(A)\)，是数\(ad-bc\)。矩阵\(A\)称为非奇异的，若\(\mbox{det}⁡(A)≠0\)。可以计算得\(\mbox{det}⁡(AB)=\mbox{det}⁡(A)\mbox{det}⁡(B)\)由此得非奇异矩阵的积是非奇异的。所有非奇异矩阵构成的集合\(\mbox{GL}⁡(2,\mathbb{R})\)带上矩阵乘法是一个（非阿贝尔）群，称为\(2×2\)实一般线性群：单位群是单位矩阵\(I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\)非奇异矩阵\(A\)的逆元是\(A^{-1}=\begin{bmatrix}d⁄Δ&-c⁄Δ\\-b⁄Δ&a⁄Δ\end{bmatrix}\)其中\(Δ=ad-bc=\mbox{det}⁡(A)\)。

10.前面这个例子可以从两个方面修改。首先，可以允许元素属于\(\mathbb{Q}\)或\(\mathbb{C}\)，这就给出了群\(\mbox{GL}⁡(2,\mathbb{Q})\)或\(\mbox{GL}⁡(2,\mathbb{C})\)。甚至可以允许元素属于\(\mathbb{Z}\)，此时定义\(\mbox{GL}⁡(2,\mathbb{Z})\)为所有行列式为\(±1\)的矩阵构成的集合。此外，所以非奇异\(n×n\)矩阵带上矩阵乘法构成群\(\mbox{GL}⁡(n,\mathbb{R})\)。

11.所以特殊正交矩阵，即所有形如

\(A=\begin{bmatrix}\cos{⁡α}&-\sin{⁡α}\\\sin{⁡α}&\cos{⁡α}\end{bmatrix}\)的矩阵构成一个群，记为\(SO⁡(2,\mathbb{R})\)，并称为\(2×2\)特殊正交群。下面证明矩阵乘法是\(SO⁡(2,\mathbb{R})\)上的一个运算。积\(\begin{bmatrix}\cos{⁡α}&-\sin{⁡α}\\\sin{⁡α}&\cos{⁡α}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos{⁡β}&-\sin{⁡β}\\\sin{⁡β}&\cos{⁡β}\end{bmatrix}\)是\(\begin{bmatrix}\cos{⁡α} \cos{⁡β}-\sin{⁡α} \sin{⁡β}&-\cos{⁡α} \sin{⁡β}-\sin{⁡α} \cos{⁡β}\\\sin⁡α \cos⁡β+\cos⁡α \sin⁡β&\cos⁡α \cos⁡β-\sin⁡α \sin⁡β\end{bmatrix}\)正弦和余弦的加法定理表明这个积还是一个特殊正交矩阵，因为它等于\(\begin{bmatrix}\cos{⁡(α+β)}&-\sin{⁡(α+β)}\\\sin{⁡(α+β)}&\cos{⁡(α+β)}\end{bmatrix}\)事实上，这个计算表明\(SO⁡(2,\mathbb{R})\)是阿贝尔群。显然，单位矩阵是特殊正交的，一个特殊正交矩阵的逆元（因为特殊正交矩阵的行列是为\(1\)，所以逆元存在）也是特殊正交的。
此外，\(SO⁡(2,\mathbb{R})\)是与圆群\(S^1\)同构的群，且这个群由平面绕原点的所有旋转构成。

12.仿射群\(\mbox{Aff}⁡(1,\mathbb{R})\)是由所有形如

\(f_{a,b}⁡(x)=ax+b\)的函数\(f:\mathbb{R}→\mathbb{R}\)（称为仿射映射）构成的，其中\(a\)和\(b\)是固定的实数，且\(a≠0\)。下面检验\(\mbox{Aff}⁡(1,\mathbb{R})\)带上合成运算作成一个群。若\(f_{c,d}⁡(x)=cx+d\)，则\(\begin{array}{ccl} {{f_{a,b}f_{c,d}}(x)} & = & {f_{a,b}\left( {cx + d} \right)} \\ & = & {a\left( {cx + d} \right) + b} \\ & = & {acx + \left( {ad + b} \right)} \\ & = & {f_{ac,\mathit{ad} + b}(x)} \end{array}\)由于\(ac≠0\)，所以合成是一个仿射映射，恒等函数\(1_\mathbb{R}:\mathbb{R}→\mathbb{R}\)是仿射映射（\(1_\mathbb{R}=f_{1,0}\)），容易看出\(f_{a,b}\)的逆元是\(f_{a^{-1},-a^{-1} b}\)，注意到下面合成是矩阵乘法：\( \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c & d \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {ac} & {ad + b} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)类似地，用\(\mathbb{Q}\)替换\(\mathbb{R}\)得到\(\mbox{Aff}⁡(1,\mathbb{Q})\)，用\(\mathbb{C}\)替换\(\mathbb{R}\)得到\(\mbox{Aff}⁡(1,\mathbb{C})\)。




参考
JOSEPH, J. (2006). 抽象代数基础教程. 北京: 机械工业出版社.