Cyclotomic Polynomial

分圆多项式(Cyclotomic Polynomial)
对于任意正整数$n$，${\mathrm{\Phi }}_n(x)$是一个不可约的首一多项式，其中${\mathrm{\Phi }}_n(x)$表示第$n$个分圆多项式，满足${\mathrm{\Phi }}_n(x)│x^n-1$，任意$k<n$，${\mathrm{\Phi }}_n(x)\nmid x^k-1$。且这个多项式的根都是单位根$e^{2i\pi \frac{k}{n}}$，所以这个多项式可以写为：

${\mathrm{\Phi }}_n(x)=\prod _{\begin{array}{c}1\le k\le n\\ gcd(k,n)=1\end{array}}\left(x-e^{2i\pi \frac{k}{n}}\right)$

例如：
${\mathrm{\Phi }}_1(x)=x-1$
${\mathrm{\Phi }}_2(x)=x+1$
${\mathrm{\Phi }}_3(x)=x^2+x+1$
${\mathrm{\Phi }}_4(x)=x^2+1$
其具有重要性质：

${\mathrm{\Phi }}_{2^n}(x)=x^{2^{n-1}}+1$

证明：
显然，对于$k=2\epsilon$有$\text{gcd}(k,n)\ne 1$，而对于$k=2\epsilon +1$有$\text{gcd}(k,n)=1$成立，其中$\epsilon \in {\mathbb{F}}_2^{n-1}$。故有

${\mathrm{\Phi }}_{2^n}(x)=\prod _{\begin{array}{c}1\le k\le 2^n\\ gcd(k,2^n)=1\end{array}}\left(x-e^{2i\pi \frac{k}{2^n}}\right)=\prod _{\epsilon \in {\mathbb{F}}_2^{n-1}}\left(x-e^{2i\pi \frac{2\epsilon +1}{2^n}}\right)$

考虑任意$b-a=\frac{1}{2}$，有

$\begin{array}{cc}& \left(x-e^{a2i\pi }\right)\left(x-e^{b2i\pi }\right)\\ =& \left(x-e^{a2i\pi }\right)\left(x-e^{(\frac{1}{2}+a)2i\pi }\right)\\ =& \left(x-e^{a2i\pi }\right)\left(x+e^{a2i\pi }\right)\\ =& x^2-e^{2a2i\pi }\end{array}$

从而

${\mathrm{\Phi }}_{2^n}(x)=\prod _{\epsilon \in {\mathbb{F}}_2^{n-1}}\left(x-e^{2i\pi \frac{2\epsilon +1}{2^n}}\right)=\prod _{\epsilon \in {\mathbb{F}}_2^{n-2}}\left(x^2-e^{2i\pi \frac{2\epsilon +1}{2^{n-1}}}\right)=\cdots =x^{2^{n-1}}+1$

证毕。





参考
分圆多项式 cyclotomic polynomial-CSDN博客
分圆多项式（cyclotomic polynomial） - PamShao - 博客园 (cnblogs.com)