选数异或（思维）

题意

给定一个长度为$n$的数列$A_1, A_2,\dots,A_n$和一个非负整数$x$，给定$m$次查询，每次询问能否从某个区间$[L,R]$中选择两个下标不同的数使得他们的异或等于$x$。

题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/description/4648/

数据范围

$1 \leq n, m \leq 10^5$
$0 \leq x < 2^{20}$
$0 \leq A_i < 2^{20}$

思路

首先，一个很自然的想法是遍历整个数组，利用$a \oplus b = x \Leftrightarrow a \oplus (b \oplus x) = 0$计算出与之配对的数。

然后我们先考虑一下最朴素的做法。对于每个查询，我们枚举区间$[L,R]$中的每一个数，作为数对的右端点。我们可以提前预处理出每个数作为右端点时，最右侧与之配对的数下标是多少。这样时间复杂度是$O(nm)$的。

现在考虑利用性质进行优化。思考上面那个过程，只要有一个数，与之配对的数的下标大于等于$L$，那么就存在满足题意的数对。这就等价于，我们只需要判断这个区间中配对数下标的最大值是否大于等于$L$就行。然后，显然，进一步等价于$[1,R]$这个区间中配对数下标的最大值是否大于等于$L$。因此，维护一个前缀最大值即可。

因此最终的做法是，首先预处理出每个数作为右端点时，最右侧与之配对的数下标是多少。然后求出配对数下标的前缀最大值。对于每个查询，判断前缀最大值是否大于等于$L$即可。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010, M = (1 << 20) + 10;

int n, m, x;
int a[N], loc[M];
int f[N];

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &x);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        f[i] = max(f[i - 1], loc[a[i] ^ x]);
        loc[a[i]] = i;
    }
    for(int i = 1; i <= m; i ++) {
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        if(f[r] >= l) printf("yes\n");
        else printf("no\n");
    }
    return 0;
}