Subsequence Path（图论，DP）

题意

给定$N$个点，$M$条边的无向图，边权为$C_i$。

给定一个序列$E = (E_1, E_2, \dots, E_K)$，其中$E_i$表示边的编号。

路径是“好路径”当且仅当边的编号按照经过顺序排序，为$E$的子序列（不要求连续）。

求从$1$号点到$N$号点的好路径中的最短路。

题目链接：https://atcoder.jp/contests/abc271/tasks/abc271_e

数据范围

$2 \leq N \leq 2 \times 10^5$
$1 \leq M, K \leq 2 \times 10^5$
$1 \leq C_i \leq 10^9$
$1 \leq E_i \leq M$

思路

这道题独立做出来了，但是由于这个题目非常经典，因此在这里记录一下做法。

考虑DP，$f(i)$表示从$1$号点通过好路径到达$i$号点的最短路径长度。并将$f$初始化为$+\infty$

遍历$E$序列，表示路径的最后一条边为$E_i$，然后更新$f$。这样即可得到$1$号点到所有点的最短距离了。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 200010;

int n, m, k;
ll f[N];
int a[N];

struct Edge
{
    int u, v;
    ll w;
}e[N];

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    for(int i = 1; i <= m; i ++) {
        int u, v;
        ll w;
        scanf("%d%d%lld", &u, &v, &w);
        e[i] = {u, v, w};
    }
    for(int i = 1; i <= k; i ++) scanf("%d", &a[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) f[i] = 1e18;
    f[1] = 0;
    for(int i = 1; i <= k; i ++) {
        int id = a[i];
        int u = e[id].u, v = e[id].v;
        ll w = e[id].w;
        f[v] = min(f[v], f[u] + w);
    }
    if(f[n] == 1e18) f[n] = -1;
    printf("%lld\n", f[n]);
    return 0;
}