收集卡牌（期望DP、状态压缩）

题意

小林在玩一个抽卡游戏，其中有$n$种不同的卡牌，编号为$1$到$n$。

每一次抽卡，她获得第$i$种卡牌的概率为$p_i$。

如果这张卡牌之前已经获得过了，就会转化为一枚硬币。

可以用$k$枚硬币交换一张没有获得过的卡。

小林会一直抽卡，直至集齐了所有种类的卡牌为止，求她的期望抽卡次数。

如果你给出的答案与标准答案的绝对误差不超过$10^{−4}$，则视为正确。

提示：聪明的小林会把硬币攒在手里，等到通过兑换就可以获得剩余所有卡牌时，一次性兑换并停止抽卡。

题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/4012/

数据范围

$1 \leq n \leq 16$
$1 \leq k \leq 5$
$\sum\limits_{i=1}^n p_i = 1$

思路

期望DP。首先我们分析一下状态定义。如果没有硬币这个设定，状态就是$S$，记录已经获得了哪些牌。现在加上硬币这个设定，那么我们再加一维状态，表示已经获得了多少金币。

定义$f(S, j)$表示当前卡牌获得情况为$S$，并且已经获得了$j$枚硬币的情况下，还需要抽卡次数的期望。

我们令$r$表示$S$的二进制表示中$0$的个数，因此终止状态为$j \geq rk$。

下面考虑转移方程。如果当前摸到的牌之前已经摸到过了，则$f(S, j) = f(S, j) + p_i * (f(S, j + 1) + 1)$；如果当前摸到的牌之前没有摸过，则$f(S, j) = f(S, j) + p_i * (f(S | 2^i, j) + 1)$。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 16, M = 1 << N;

int n, k;
double a[N];
double f[M][5 * N + 10];

double dfs(int state, int coins)
{
    double &v = f[state][coins];
    if(v >= 0) return v;
    int r = n;
    for(int i = 0; i < n; i ++) {
        if(state >> i & 1) {
            r --;
        }
    }
    if(coins >= r * k) return v = 0;
    v = 0;
    for(int i = 0; i < n; i ++) {
        if(state >> i & 1) v += a[i] * (dfs(state, coins + 1) + 1);
        else v += a[i] * (dfs(state | (1 << i), coins) + 1);
    }
    return v;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for(int i = 0; i < n; i ++) scanf("%lf", &a[i]);
    memset(f, -1, sizeof f);
    printf("%.10f\n", dfs(0, 0));
    return 0;
}