坠落的蚂蚁（模拟）

题意

一根长度为\(1\)米的木棒上有\(N\)只蚂蚁在爬动。

它们的速度为每秒一厘米或静止不动，方向只有两种，向左或者向右。

如果两只蚂蚁碰头，则它们立即交换速度并继续爬动。

三只蚂蚁碰头，则两边的蚂蚁交换速度，中间的蚂蚁仍然静止。

如果它们爬到了木棒的边缘（\(0\) 或 \(100\) 厘米处）则会从木棒上坠落下去。

在某一时刻蚂蚁的位置各不相同且均在整数厘米处（即\(1, 2, 3, \dots, 99\)厘米），有且只有一只蚂蚁\(A\)速度为\(0\)，其他蚂蚁均在向左或向右爬动。

给出该时刻木棒上的所有蚂蚁位置和初始速度，找出蚂蚁\(A\)从此时刻到坠落所需要的时间。

题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/3477/

数据范围

\(2 \leq N \leq 99\)

思路

首先分析一条性质：对于除\(A\)外的其他蚂蚁，如果两只蚂蚁碰头，那么相当于什么都没有发生。因为除了\(A\)之外，其他蚂蚁的编号是无所谓的，两者交换速度就相当于对穿了。

通过这条性质，我们发现，如果\(A\)左边的蚂蚁向左走，或者\(A\)右边的蚂蚁向右走，那么它们是不会影响\(A\)的。

然后再分析一条性质，如果\(A\)左边和右边各有一只蚂蚁，且左边的蚂蚁向右走，右边的蚂蚁向左走，那么\(A\)最终位置不变。我们不妨设右边的蚂蚁距离\(A\)更近，首先\(A\)与右边的蚂蚁碰头，\(A\)向左走，右边的蚂蚁停留在了\(A\)的位置；然后\(A\)与左边的蚂蚁碰头，左边的蚂蚁向左走，\(A\)向右走；最后\(A\)与右边的蚂蚁碰头，右边的蚂蚁向右走，\(A\)停留在了最初的位置。此时，左边的蚂蚁向左走，右边的蚂蚁向右走，它们再也不会影响\(A\)了。因此，在该情况下，\(A\)停留在原来的位置上。

下面再来一条推论，如果左边向右走的蚂蚁数量与右边向左走的蚂蚁数量相同，则\(A\)最终位置不变。首先\(A\)与左边、右边距离\(A\)最近的相碰，停留在原处；然后再与左右第\(2\)近的蚂蚁相碰，停留在原处。以此类推，最终\(A\)依然停留在原处。

如果两边的蚂蚁数量不同，不妨设左边向右走的蚂蚁更多。根据上面那条推论，我们可以“消掉”右边全部的蚂蚁以及左边相同数量的蚂蚁（按照从近到远的顺序）。消除过后，左边距离\(A\)最近的蚂蚁会与\(A\)进行碰头，\(A\)继承了左边蚂蚁的速度继续向右走。相当于，最终的时间就是“消除”后，左边最近蚂蚁走到右端点的时间，也就是左边最近蚂蚁到右端点的距离。

因此，做法如下：先对蚂蚁按照位置进行排序。用两个vector分别存储左边向右走的蚂蚁和右边向左走的蚂蚁（按照位置从小到大）。如果两边数量相等，则\(A\)不会掉下去。如果左边蚂蚁多，设右边蚂蚁数量为\(r\)，那么就看左边倒数第\(r+1\)只蚂蚁的位置。如果右边蚂蚁多，设左边蚂蚁数量为\(l\)，那么就看右边第\(l+1\)只蚂蚁的位置。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <vector>

using namespace std;

typedef pair<int, int> pii;

int n;
vector<pii> a;
vector<int> l, r;

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    int A;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        if(!y) A = x;
        a.push_back({x, y});
    }
    sort(a.begin(), a.end());
    for(auto p : a) {
        int x = p.first, y = p.second;
        if(!y || x < A && y < 0 || x > A && y > 0) continue;
        if(x < A) l.push_back(x);
        else r.push_back(x);
    }
    if(l.size() == r.size()) printf("Cannot fall!\n");
    else if(l.size() > r.size()) printf("%d\n", 100 - l[l.size() - 1 - r.size()]);
    else printf("%d\n", r[l.size()]);
    return 0;
}