一类差分题的思考方式及经典例题

问题描述

这类题目一般都会给定一个整数序列$A$和一个大定义域$D$。定义一个与序列元素有关的函数$f(X)$，定义域是$D$，值域是非负整数。

找到一个$X$，使得$f(X)$最大。

思考方式

虽然$D$的范围可能很大，但是$f(X) > 0$的$X$可能不多。因此我们只需要知道哪些$X$的$f(X) > 0$，且这些$f(x)$的值是多少即可。

这类题一般都会先考虑序列中元素对哪些$X$有贡献，一个元素会使得一个区间$[l, r]$上的答案同增或同减一个常数（通常就是$1$）。比如：当$X \in [l, r]$，$a_i$为$f(X)$贡献了$1$。

因此可以使用差分维护这个过程，最后求前缀和并更新答案即可。

因此我们对于具体题目的考虑就是，什么样的元素会影响哪个区间。

典型例题

• 非零段划分（https://www.acwing.com/problem/content/4010/）

题意：$A_1,A_2, \dots , A_n$是一个由$n$个自然数（非负整数）组成的数组。我们称其中$A_i, \dots ,A_j$是一个非零段，当且仅当以下条件同时满足：$1 \leq i \leq j \leq n$；对于任意的整数$k$，若$i \leq k \leq j$，则$A_k > 0$；$i=1$或$A_{i−1}=0$；$j=n$或$A_{j+1}=0$。现在我们可以对数组$A$进行如下操作：任选一个正整数$p$，然后将$A$中所有小于$p$的数都变为$0$。试选取一个合适的$p$，使得数组$A$中的非零段个数达到最大。若输入的$A$所含非零段数已达最大值，可取$p=1$，即不对$A$做任何修改。

解题思路：在这道题中，$f(X)$表示非零段个数。我们现在考虑什么样的元素会影响哪个区间。对于相邻两个数，如果$A_i > A_{i - 1}$，为了让$A_i$变为一个非零段的开始，我们需要把$A_{i - 1}$变为$0$。而$[A_{i-1}, A_i-1]$可以满足这个要求，也就是为这个区间上的$f(X)$都贡献了$1$。因此，$A_i > A_{i - 1}$这样的元素会使得$[A_{i-1}, A_i-1]$这个区间答案加$1$。

注：岛（https://www.acwing.com/problem/content/2016/ ）与本题几乎一样，只不过定义域更大，因此需要用map存差分。

代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 500010, M = 10010;

int n;
int a[N], b[M];

void insert(int l, int r)
{
    b[l] ++, b[r + 1] --;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        a[i] = x;
        if(a[i] > a[i - 1]) insert(a[i - 1], a[i] - 1);
        //如果选择[a[i - 1], a[i] - 1]，那么第i个元素开始就称为了非零段
        //因此区间内所有数字贡献+1
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 0; i < M; i ++) {
        b[i] = b[i - 1] + b[i];
        ans = max(ans, b[i]);
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

• Robot Takahashi（https://atcoder.jp/contests/abc257/tasks/abc257_c）

题意：有一群大人和小孩，每个人都有一个高度$A_i$。你需要划定一个高度标注$X$，并且你认为大于等于$X$的人都是大人，小于$X$的都是小孩。问：找到一个$X$，使得判断准确人数最多。

思路：在这道题中，$f(X)$表示判断准确人数。我们现在考虑什么样的元素会影响哪个区间。对于一个人$i$，当$X$处于哪个区间才能将其分对呢？如果这个人是大人，那么$[0, A_i]$是可以分对的，$A_i$对这个区间贡献$1$；如果这个人是小孩，那么$[A_i + 1, \infty]$可以分对的，$A_i$对这个区间贡献$1$。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <map>

using namespace std;

const int N = 200010;

int n;
char s[N];
map<int, int> mp;

void insert(int l, int r)
{
    mp[l] ++, mp[r + 1] --;
}

int main()
{
    scanf("%d%s", &n, s + 1);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        if(s[i] == '1') insert(0, x);
        else insert(x + 1, 1e9);
    }
    int ans = 0, t = 0;
    for(auto p : mp) {
        t += p.second;
        ans = max(ans, t);
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}