Powerful Discount Tickets（贪心，数学）

题意

有$N$件物品，每件物品价格为$A_i$元。

你现在有$K$张优惠券。对于一个价格为$X$的物品，如果你使用$y$张优惠券，则你需要花费$\lfloor \frac{X}{2^y} \rfloor$元。

求购买所有物品需要花费多少元钱？

题目链接：https://atcoder.jp/contests/abc141/tasks/abc141_d

数据范围

$1 \leq N, K \leq 10^5$

思路

我们可以观察一下$\lfloor \frac{X}{2^0} \rfloor$，$\lfloor \frac{X}{2^1} \rfloor$，$\lfloor \frac{X}{2^2} \rfloor$，$\dots$的结果。我们可以发现变化幅度是减小的，也就是将优惠券用在价格更高的物品上更好。

因此，我们可以考虑每次使用一张优惠券，用在当前价格最高的物品上，然后该物品价格除以$2$。这个过程可以使用优先队列进行维护。

这个做法为什么是正确的呢？因为这里有一条性质：对于任意正整数$X, b_1, b_2$，有$\lfloor \frac{\lfloor \frac{X}{b_1} \rfloor}{b_2} \rfloor = \lfloor \frac{X}{b_1 b_2} \rfloor$。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

typedef long long ll;

int n, k;

int main()
{
    priority_queue<int> que;
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        que.push(x);
    }
    while(k --) {
        int t = que.top();
        que.pop();
        que.push(t / 2);
    }
    ll ans = 0;
    while(que.size()) {
        int t = que.top();
        ans += (ll)t;
        que.pop();
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}