有限小数（小数转换进制，判断一个数的质因子是否是另一个数质因子的子集）

题意

给定三个整数$p$，$q$，$b$，请你计算十进制表示下的$p/q$的结果在$b$进制下是否为有限小数。

题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/4487/

数据范围

$1 \leq T \leq 10^5$
$0 \leq p, q, b \leq 10^{18}$

思路

小数转换进制的方法与整数不同。整数是一直除以$b$，直到商为$0$为止；而小数是一直乘$b$，直到变为整数为止，如果一直不能变为整数，则为无限小数。

因此，对于最简分数$p/q$，如果在二进制下它为有限小数，则存在正整数$k$，使得$q | b^k$。即，$q$的质因子是$b$质因子的子集。

如果直接进行质因子分解，那么时间复杂度是根号的，会超时，因此需要思考更快的算法。

如果$gcd(q, b) \neq 1$，那么一直做$q = q / gcd(q, b)$。如果循环结束后$q \neq 1$，则说明$q$中存在$b$中不存在的质因子。这样做还是超时的，因此需要继续优化。

• 可以在每次循环的时候让$b = gcd(b, q)$
• 找到一个$gcd(q, b)$，$q$就把这个因子给除干净

这样就可以顺利通过此题了。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll gcd(ll a, ll b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T -- ) {
        ll p, q, b;
        scanf("%lld%lld%lld", &p, &q, &b);
        ll d = gcd(p, q);
        q /= d;
        while(q > 1) {
            d = gcd(q, b);
            if(d == 1) break;
            while(q % d == 0) q /= d, b = d;
        }
        if(q == 1) puts("YES");
        else puts("NO");
    }
    return 0;
}