Max GCD（贪心、枚举）

题意

给定一个长度为$N$的整数序列：$A_1, A_2, \dots, A_N$

你可以执行如下操作$0 \sim K$次：

• 选择两个整数$i$和$j$满足$i \neq j$，将$A_i$加$1$，$A_j$减$1$（可能会出现负数）。

问最大的正整数$x$，满足在$K$次操作内，把所有$A_i$变成$x$的倍数（$0$为任意正整数的倍数）

题目链接：https://atcoder.jp/contests/abc136/tasks/abc136_e

数据范围

$2 \leq N \leq 500$
$1 \leq A_i \leq 10^6$
$0 \leq K \leq 10^9$

思路

看到这道题，我的第一反应是二分答案。但是仔细分析一下，发现不满足二分性质。一个较小的数可能不满足要求，但是另一个较大的数有可能是满足要求的，因此不能二分。

但是枚举可能的答案，然后check应该是一个正确的思路，因此需要找一个候选答案集合。

我们考虑到，经过若干操作之后，序列的和（$s = \sum\limits_{i=1}^N A_i$）是不变的。并且，所有$A_i$都为$x$的倍数，那么$s$也应该为$x$的倍数。因此，所有$s$的因数为候选答案集合，集合元素个数为$O(\sqrt{N \max A_i})$。

下面考虑如何check答案，这是一个经典贪心问题。假设当前枚举到的答案为$x$，将$A_i$对$x$取模，然后从小到大排序。我们希望接近于$0$的数都减到$0$，接近于$x$的数都加到$x$。因此，我们枚举分界点，分界点左边的元素全都减到$0$，分界点右边的元素全都加到$x$。判断一下减的次数与加的次数是否相等，以及是否$\leq K$即可。这可以通过前缀和快速实现。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 510;

int n, k;
int a[N], b[N];
ll sum[N];

bool check(int x)
{
    for(int i = 1; i <= n; i ++) b[i] = a[i] % x;
    sort(b + 1, b + n + 1);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) sum[i] = sum[i - 1] + b[i];
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        ll t = (ll)x * (ll)(n - i);
        if(sum[i] == t - (sum[n] - sum[i]) && sum[i] <= k) {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    ll tot = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        tot += a[i];
    }
    int ans = 1;
    for(int i = sqrt(tot); i >= 1; i --) {
        if(check(i)) ans = max(ans, i);
        if(check(tot / i)) ans = max((ll)ans, tot / i);
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}