伊基的故事 I - 道路重建（最大流，关键边）

题意

给定一个流网络，问有多少条关键边。

关键边指的是，增加这条边的容量，可以使得最大流的流量增加。

思路

我们来分析一下什么样的边是关键边。

跑完最大流之后，如果这条边的流量不满，那么一定不是关键边。因为都没跑满，增加容量的话还是那些流量，没有实质作用。

因此只有满流的边才可能是关键边。

对于满流边\(i\)，如果增大容量使其流量不能跑满，那么如果这条边存在于一条增广路中，那么它就是关键边。反之，因为其他边容量的限制，增大它的容量也无法继续增广，因此不是关键边。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 510, M = 10010, inf = 1e8;

int n, m, S, T;
int h[N], e[M], ne[M], f[M], idx;
int cur[N], d[N];
bool get_s[N], get_t[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, f[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
    e[idx] = a, f[idx] = 0, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++;
}

bool bfs()
{
    memset(d, -1, sizeof(d));
    queue<int> que;
    que.push(S);
    d[S] = 0, cur[S] = h[S];
    while(que.size()) {
        int t = que.front();
        que.pop();
        for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
            int ver = e[i];
            if(d[ver] == -1 && f[i]) {
                d[ver] = d[t] + 1;
                cur[ver] = h[ver];
                if(ver == T) return true;
                que.push(ver);
            }
        }
    }
    return false;
}

int find(int u, int limit)
{
    if(u == T) return limit;
    int flow = 0;
    for(int i = cur[u]; ~i && flow < limit; i = ne[i]) {
        cur[u] = i;
        int ver = e[i];
        if(d[ver] == d[u] + 1 && f[i]) {
            int t = find(ver, min(f[i], limit - flow));
            if(!t) d[ver] = -1;
            f[i] -= t, f[i ^ 1] += t, flow += t;
        }
    }
    return flow;
}

int dinic()
{
    int res = 0, flow;
    while(bfs()) {
        while(flow = find(S, inf)) {
            res += flow;
        }
    }
    return res;
}

void dfs_s(int u)
{
    get_s[u] = true;
    for(int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        if(!get_s[j] && f[i]) {
            dfs_s(j);
        }
    }
}

void dfs_t(int u)
{
    get_t[u] = true;
    for(int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        if(!get_t[j] && f[i ^ 1]) {
            dfs_t(j);
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(h, -1, sizeof(h));
    S = 0, T = n - 1;
    for(int i = 0; i < m; i ++) {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }
    dinic();
    dfs_s(S);
    dfs_t(T);
    int ans = 0;
    for(int i = 0; i < idx; i += 2) {
        int u = e[i ^ 1], v = e[i];
        if(!f[i] && get_s[u] && get_t[v]) {
            ans ++;
        }
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}