Travel Guide（cdq+最短路）

题意

给定\(n\)个点，\(m\)条边。每个点到\(0\)，\(1\)，\(2\)号点都有最短路dist0，dist1，dist2。对于一个点\(A\)，若存在点\(B\)，\(B\)的dist0，dist1，dist2都小于等于\(A\)，并且至少有一个距离要严格小于点\(A\)的，那么称点\(A\)为没用的点。不是没用的点，则为有用的点。求总共有多少个有用的点。

数据范围

\(4 \leq n \leq 100000\)
\(m \leq 500000\)
\(1 \leq w \leq 100\)

思路

首先，这三个距离特别容易算出来，跑三遍Dijkstra即可。
根据条件，\(B\)的dist0，dist1，dist2都小于等于\(A\)，并且至少有一个距离要严格小于点\(A\)的，这是一个三维偏序问题，直接使用cdq分治。
答案怎么统计呢，对于点\(A\)，我们找有多少个\(B\)是满足上述条件的，如果\(B\)的个数是大于\(0\)的，那么就说明\(A\)是没用的点。
考虑到存在三个距离相等的点，因此答案加上三个距离等于点\(A\)的点数即可。
这里统计\(B\)的个数，用树状数组维护。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>

using namespace std;

typedef pair<int, int> pii;

const int N = 100010, M = 1000010;

int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
bool st[N];
int dist[N];

vector<int> nums;

struct Node
{
    int a, b, c, s, id;
    bool operator < (const Node &t) const
    {
        if(a != t.a) return a < t.a;
        if(b != t.b) return b < t.b;
        return c < t.c;
    }
    bool operator == (const Node &t) const
    {
        return a == t.a && b == t.b && c == t.c;
    }
}q[N], tmp[N];

int is_ok[N];
int tree[N];

int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}

void update(int x, int v)
{
    for(int i = x; i < N; i += lowbit(i)) tree[i] += v;
}

int query(int x)
{
    int res = 0;
    for(int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tree[i];
    return res;
}

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

int find(int x)
{
    return lower_bound(nums.begin(), nums.end(), x) - nums.begin();
}

void dijkstra(int u)
{
    memset(st, 0, sizeof(st));
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));
    priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii> > heap;
    heap.push({0, u});
    dist[u] = 0;
    while(heap.size()) {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();
        int ver = t.second, distance = t.first;
        if(st[ver]) continue;
        st[ver] = true;
        for(int i = h[ver]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if(dist[j] > distance + w[i]) {
                dist[j] = distance + w[i];
                heap.push({dist[j], j});
            }
        }
    }
}

void merge_sort(int l, int r)
{
    if(l >= r) return;
    int mid = l + r >> 1;
    merge_sort(l, mid), merge_sort(mid + 1, r);
    int i = l, j = mid + 1, k = 0;
    while(i <= mid && j <= r) {
        if(q[i].b <= q[j].b) update(q[i].c, 1), tmp[k ++] = q[i ++];
        else {
            if(query(q[j].c)) is_ok[q[j].id] = q[j].s;
            tmp[k ++] = q[j ++];
        }
    }
    while(i <= mid) update(q[i].c, 1), tmp[k ++] = q[i ++];
    while(j <= r) {
        if(query(q[j].c)) is_ok[q[j].id] = q[j].s;
        tmp[k ++] = q[j ++];
    }
    for(int i = l; i <= mid; i ++) update(q[i].c, -1);
    for(int i = l, j = 0; j < k; i ++, j ++) q[i] = tmp[j];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(h, -1, sizeof(h));
    for(int i = 0; i < m; i ++) {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c), add(b, a, c);
    }
    
    dijkstra(0);
    for(int i = 0; i < n; i ++) q[i].a = dist[i];
    dijkstra(1);
    for(int i = 0; i < n; i ++) q[i].b = dist[i];
    dijkstra(2);
    for(int i = 0; i < n; i ++) nums.push_back(dist[i]);

    sort(nums.begin(), nums.end());
    nums.erase(unique(nums.begin(), nums.end()), nums.end());
    for(int i = 0; i < n; i ++) q[i].c = find(dist[i]) + 1;

    for(int i = 0; i < n; i ++) q[i].s = 1;
    sort(q, q + n);

    int k = 1;
    for(int i = 1; i < n; i ++) {
        if(q[i] == q[k - 1]) q[k - 1].s ++;
        else q[k ++] = q[i];
    }
    for(int i = 0; i < k; i ++) q[i].id = i;
    merge_sort(0, k - 1);

    int ans = n;
    for(int i = 0; i < k; i ++) ans -= is_ok[i];
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}