CF850D Tournament Construction

一个和群里大佬们不一样的做法qwq。
一道很有意思的构造题

一、算法要素：竞赛图+兰道定理+dp+dfs+一些奇怪的结论

二、前置知识：

竞赛图：

一张完全图，不过每一条边都是有向边

兰道定理：

内容：
存在一张竞赛图，其中\(d_i\)表示第i个点的出度，将数组\(d\)升序排序后，
当\(1\leq i \leq n\)时，\(\sum_{j=1}^{i} di \leq \frac{i(i-1)}{2}\)。
当且仅当\(i=n\)时取等号。

作用：
结合其他条件一起（如是完全图，边为有向边）判定一张图是否为竞赛图。

三、解题思路：

step1:判定\(n\)的上界。
根据兰道定理，能确定\(n_{max}=61\)

step2:判定所给出的集合\(d\)能否在\(n\)的范围之内构造出一个可以成为竞赛图的情况。
这一步可以用\(dp\)解决。很容易想到\(dp\)式：\(dp[n][m][l]\)表示用前\(n\)个点，此时点的出度集合包括了\(d\)的前\(m\)个元素，
共连出\(l\)条边的情况是否成立。
显然，若最终\(n\)大于61，则无解。

step3：得出每一个点的出度。
这一步用dfs即可实现。

step4：建图。
设每个点的当前所需出度为\(ans[i]\)
用一个奇妙的思路：每次取当前出度最小的点\(i\)，每次向所有未被删除的点连边，直到连满\(ans[i]\)条边。
然后所有未被删除的点\(x\)向该点连边，并将\(ans[x]-1\)。
删除当前选中的点\(i\)，重复进行该过程\(n\)次。

四、其他：

关于step4中建图方式的正确性：
(1)保证所有点的所需的出度都被满足了
(2)由于每次都会删点，因此不会出现重复连边的现象
因此该方法具有正确性。

五、Code

施工ing