P1005 [NOIP2007 提高组] 矩阵取数游戏

算法要素：奇怪的区间dp+高精度int128暴打高精

思路分析：

很容易想到每行之间根本没有任何关系。
因此问题转化为了：在长度为m的区间中从区间两端取数\(a[i]\)，第k次得分为\(a[i]\times x\)。
要求使每行最终总得分最大。最终答案为所有行的最大得分之和。

具体实现：

(1)这题的一大特点就是细节特别多。
可设出\(dp\)式 \(dp[g][i][j]\) 表示在第g行中\((i+1,j-1)\) 为当前未选择的数的区间。
转移式则为：

\[dp[g][i][j]=max(dp[g][i-1][j]+a[g][i]\times (i+m-j+1)^2, dp[g][i][j+1]+a[g][j]\times (i+m-j+1)^2) \]

答案为：

\[ans=\sum\limits_{g=1}^{n}max_{j=1}^mdp[g][j][j+1] \]

(2)细节：
\(i\)在\(j\)的外层枚举，\(i\)从\(0\)开始递增枚举，\(j\)从m+1开始递减枚举。
要求\(j\)大于\(i\)。

(3)数据范围：
\(n,m<=80\)
那么答案的最大值估算为\(2^{80}\times1000\)，而\(int128\)的范围是\(2^{128}\)。
欸嘿这就水过去了。

这个\(dp\)式的\(i\)、\(j\)的意义和范围我都调了好久。。。

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=105;
__int128 dp[maxn][maxn][maxn],a[maxn][maxn];
int n,m;
__int128 qpow(__int128 x,__int128 y)
{
	__int128 res=1;
	while(y)
	{
		if(y&1) res=res*x;
		x=x*x;
		y>>=1;
	}
	return res;
}
__int128 read()
{
    __int128 x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0' && ch<='9')
        x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
void write(__int128 x)
{
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
    return;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=m;++j)
			a[i][j]=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		dp[i][0][m]=a[i][m]*2;
		dp[i][1][m+1]=a[i][1]*2;
	}
	for(int g=1;g<=n;++g)
	{
		for(int i=0;i<=m;++i)
		{
			for(int j=m+1;j>i;--j)
			{
				if(i>=1) dp[g][i][j]=max(dp[g][i][j],dp[g][i-1][j]+qpow(2,i+m-j+1)*a[g][i]);
				if(j<=m) dp[g][i][j]=max(dp[g][i][j],dp[g][i][j+1]+qpow(2,i+m-j+1)*a[g][j]);
			}
		}
	}
	__int128 ans=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		__int128 sum=0;
		for(int j=0;j<=m;++j)
		{
			sum=max(sum,dp[i][j][j+1]);
		}
		ans+=sum;
	}
	write(ans);
	return 0;	
}