P4095 [HEOI2013]Eden 的新背包问题 & 二进制拆分+正反01背包

奇怪的题，真的很怪，调了1h

传送门：洛谷P4095 [HEOI2013]Eden 的新背包问题

算法要素：二进制拆分+正反两次01背包（特殊01背包）

最开始没什么思路，发现可以直接多重背包，水掉50分。
打上一个二进制拆分，数据梯度太大，因此意义不大。
考虑离线，O(1)回答询问，结果还掉到40了。。。

正解：

step1：二进制拆分
step2：正反两次01背包，dp1[i][j]表示只选前i个，dp2[i][j]表示只选n～i个。
step3：因为原先某一物品被二进制拆分成了多个物品，去掉该物品所在区间[l,r],合并dp1[l][j],dp2[r+1][e-j]即可得到答案

细节&问题：

(1)事实说明优化和数据结构、离线不一定会起到优化的作用，方法的选择还是要看具体情况，分析复杂度，不能认为复杂的算法一定会有所优化
(2)关于二进制拆分，应为val[++cnt]=aj,而非val[++cnt]=ac
(3)关于01背包：习惯了压缩一维总能让我们忘记一些关键的性质或者是特点，比如如果不压缩以为就需要有dp[i][j]=dp[i-1][j]这一初始化过程。
当然压缩一维之后显然不需要这么初始化以下。
(4)关于多重背包：
枚举顺序为
for(i-->物品编号)
for(递减枚举j-->体积)
for(k-->物品数量)
很容易想到，一个物品在体积之外枚举，就会被选择多次，同样如果j递增枚举，也会被选择多次，这很显然。
而一个物品在体积之内枚举，或者递减枚举j，该物品就不会被选择多次。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e3+40,maxm=1e5+50;
int n,q,cnt;
long long dp1[maxm][maxn],dp2[maxm][maxn];
long long val[maxm],w[maxm],id[maxm];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<=n-1;++i)
    {
        long long a,b,c;
        scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
        for(long long j=1;j<=c;j<<=1)
        {
            val[++cnt]=a*j;
            w[cnt]=b*j;
            id[cnt]=i;
            c-=j;
        }
        if(c)
        {
            val[++cnt]=a*c;
            w[cnt]=b*c;
            id[cnt]=i;
        }
    }
    for(int i=1;i<=cnt;++i)
    {
        for(int j=0;j<=1000;++j) dp1[i][j]=dp1[i-1][j];
        for(int j=1000;j>=val[i];--j)
        {
            dp1[i][j]=max(dp1[i][j],dp1[i-1][j-val[i]]+w[i]);
        }
    }
    for(int i=cnt;i>=1;--i)
    {
        for(int j=0;j<=1000;++j) dp2[i][j]=dp2[i+1][j];
        for(int j=1000;j>=val[i];--j)
        {
            dp2[i][j]=max(dp2[i][j],dp2[i+1][j-val[i]]+w[i]);
        }
    }
    scanf("%d",&q);
    for(int g=1;g<=q;++g)
    {
        long long d,e;
        scanf("%lld%lld",&d,&e);
        int l=0,r=0;
        long long ans=0;
        while(l+1<=cnt && id[l+1]<d) ++l;
        r=l;
        while(r+1<=cnt && id[r+1]<=d) ++r;
        for(int j=0;j<=e;++j)
        {
            ans=max(ans,dp1[l][j]+dp2[r+1][e-j]);
        } 
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}