线性同余方程解法exgcd模板(新模板)
之前的板子太恶心了,数论题做多了就觉得非常难受,因此换了一个无论是代码难度还是理解难度都更低的写法。
线性同余方程:
(1)形式:形如ax≡c(mod b)的方程.
(2)解法:将原始转化为ax+by=c的二元一次不定方程,然后用exgcd求解
(3)解的存在情况:
《1》当gcd(a,b)|c时原方程有解,且有无数个解。
《2》当c=gcd(a,b)时有唯一解
《3》当方程有无数个解时,解可正可负
tips:所有出现的数都限定为整数
模板:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long x, y;//目前方程真正的解
long long a,b;
void exgcd(long long a, long long b)
{
//当前目的:求解 ax + by = gcd(a, b) 这么一个方程
if(b == 0) //a, b不断改变的过程中,b最终必然会成为0
{
//在 b = 0 时方程还要成立? 使 x = 1, y = 0 ,必然成立
x = 1;
y = 0; //建议返回0。不过y = 7能AC,证明了最后一个等式不受最后一个y影响
return;
}
exgcd(b, a % b);//把下一层系数传进去(先求下一个方程的解 )
//现在我们已经拿到了下一个方程的解x, y
long long tx = x;//暂时存一下x,别丢了
x = y;
y = tx - a / b * y;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&a,&b);
exgcd(a, b);
x = (x % b + b) % b;//我们求出来的x必然满足方程,但不一定是最小正整数解,所以要进行答案处理
printf("%lld\n", x);
return 0;
}
tips:
关于为什么这一句就可以使x成为最小整数解:
x=(x%b+b)%b;
(1)理解1:分正负性讨论
<1>若x>0,显然成立
<2>若x<0,x%b会使x成为一个绝对值小于b的负数,因此也成立
<2>理解2:严谨数学式
ax+by=c
ax+by-kab+kab=c
a(x+bk)+b(y-ak)=c
由于这里所有的数都是整数,且在无限解的情况下,x和(x+bk)的数集是完全相等的。
因此可以得出结论:对x加上或减去任意个b,x的解仍然不重不漏