数论内容整理

一、快速幂
递归写法

int quickpow(int a,int b,int c)
{
	if(b==1) return a%n;
	int t=quickpow(a,b/2,c)%n;
	t=t*t%n;
	if(b%2==0) return t;
	else return t*a%n;
}	

非递归写法

int quickpow(int a,int b,int n)
{
	int ret=1;
	while(b)
	{
		if(b%2==1) ret=ret*a%n;
		a=a*a%n;
		b/=2;
	}
}

二、求n的正约数集合
（1）求n的正约数集合：试除法O(sqrt(N))

int v[N],m=0;
for(int i=1;i*i<=n;++i)
{
	if(n%i==0)
	{
		v[++m]=i;
		if(i!=n/i) v[++m]=n/i;
	}
}

（2）求1~n中所有正整数的正约数集合（倍数法）O（NlogN）

vector<int> q[N];
for(int i=1;i<=n;++i)
	for(int j=1;j<=n/i;++j)
		v[i*j].push_back(i);

三、gcd
（1）求a,b的最大公因数即gcd(a,b)

很短
int gcd(int a,int b)
{
	return b ? gcd(b,a%b) : a;
}

(2)exgcd
裴蜀定理：
对于任意整数a、b,存在一对整数x、y，满足ax+by=gcd（a，b）；

性质1：对于ax+by=c（c<=gcd(a,b)）,只有c=gcd（a,b)时才有解
c>gcd(a,b)时很明显有无数多组解

void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
	if(b==0) 
	{
		d=a,x=1,y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b,d,x,y);
	int t=x;x=y;
	y=t-a/b*y;
}