欧拉回路&&欧拉路径输出模版

知识点：
(1)欧拉路径定义：从一个点出发，不重不漏的经过图中每一条边的一条路径（允许多次经过同一个点）。
(2)欧拉路径的判断：
···········<1>若为无向图，则需连通，且图中恰好存在两个点的度数是奇数，其他节点的度数为偶数，这两个度数为奇数的点就是起点与终点；或者所有点度数都是偶数。
···········<2>若为有向图，则需连通，且图中恰好存在一个点入度比出度多一，一个点出度比入度多一，其他节点的出度等于入度；或者所有点入度等于出度。

(3)欧拉回路定义：起点和终点是一个点的欧拉路径。

(4)欧拉回路的判断：
············<1>若为无向图，则需连通，且所有点的度数都是偶数。
············<2>若为有向图，则需连通，且所有点的入度等于出度。

（5）通俗解释：欧拉路径就是一笔画，欧拉回路是特殊的一笔画：起点和重点重合的一笔画。

代码实现：Hierholzer算法
（1）首先我们要确定出起点，然后从起点开始不走重复边的递归。
（2）对于每一个点,当访问完所有的边时，把这个点加入答案序列。
（3）最后，输出答案序列即为一条欧拉路径依次经过的点

伪代码

void dfs(int u){
	for(){ //遍历所有与u相邻的点v 
		if(!vis[v]){   //u与v的这条边没被访问过 
			vis[v]=1;    
			dfs(v);  //递归与u相邻的点v 
		}
	}
	s.push(u); //没有边了,将u进入序列 
}

but这里出现了一个问题：
这样写时间复杂度是不对的。按照算法，我们不能走重复边，但如果每次都vis判断一遍，则会出现很多次访问同一条边，时间复杂度是不正确的。

处理：
对于任意一个点 u 来说，建完图之后访问边是有顺序的，我们新开一个数组 delete delete 记录访问到哪个位置即可（即该删除哪个位置）。

是否存在欧拉路径&&欧拉回路只要按照上文给出的判定方法实现就可以了

上代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int ru[N],chu[N],n,m;
stack <int> s;
int delet[N];
vector <int> a[N];
void dfs(int u)
{
	for(int i=delet[u];i<a[u].size();i=delet[u])//遍历从u能够到达的点
	{
		delet[u]=i+1;
		dfs(a[u][i]);//搜索走到的点
	}
	s.push(u);//所有能到达的点都被处理过后，直接把u入栈
}
int main()
{
	int u,v,n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		scanf("%d%d",&u,&v);
		a[u].push_back(v);
		chu[u]++;
		ru[v]++;	
	}//输入的同时统计每个点的入度和出度
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		sort(a[i].begin(),a[i].end());	
	}//升序排列每一个点能达到的点的编号（用来应对字典序最小这一条件）
	int start=1;//起点位置预设为1（如果没有字典序的要求那么设在任意一个点都可以）
	bool flag=1;//flag==1表示存在欧拉回路，flag==1表示不存在欧拉路径或存在不是欧拉回路的欧拉路径
	int sum1=0,sum2=0;//sum1是“入度=出度-1”（有可能作为起点）的点的个数，sum2是“入度=出度+1”（有可能作为终点）的点的个数
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		if(chu[i]!=ru[i]) flag=0;//判断是否是欧拉回路
		if(chu[i]-ru[i]>1)//出度入度之差大于1，肯定没有欧拉路径
		{
			printf("No");
			return 0;		
		}
		if(chu[i]-ru[i]==1)//统计sum1个数
		{
			start=i;
			sum1++;	
		}
		if(ru[i]-chu[i]==1) sum2++;//统计sum2个数
	}
	if(!(flag==1||(sum1==sum2)&&sum1==1))//不是欧拉回路或者普通欧拉路径中的任意一个
	{
		printf("No");
		return 0;	
	}
	dfs(start);//从起点开始不重不漏的dfs
	while(!s.empty())
	{
		printf("%d ",s.top());
		s.pop();	
	}//按序输出栈里的所有内容，即为所求
	return 0;	
}