ybt进阶：二进制优化（多重背包）

二进制优化用于多重背包中。

（1）多重背包模板：

long long dp[maxn], n, W, v[maxn], w[maxn], m[maxn];
//n是物品种类，W是背包总容量，v[i]是第i种物品的价值，w[i]是第i种物品的重量,m[i]是第i种物品的件数 
for(int i = 1;i <= n;++i)
{
    for(int j = W;j >= 0;--j)
    {
        for(int k = 1;k <= m[i] && w[i]*k <= j;++k)
        {
            dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]*k]+v[i]*k);    
        }
    }        
}

我们可以发现这里第三层（最内层）循环枚举了物品件数，使得这个算法的复杂度由完全背包或01背包的O（n^2）变为O（n^3），

在面对一些数据较大的题目肯定会被卡掉。

这样下去肯定是不行的（笑）。

因此我们可以考虑通过把si件物品合成几个小部分，当作单独的物品，把题目转化成01背包。

这就需要用到二进制拆分。

 

（2）二进制拆分（又称二进制优化）的具体内容及其证明

由于任何一个整数都可以用二进制表示。我们可以求出2^0+2^1+....+2^p <= m[i]的最大整数p，设R[i] = m[i] - 2^0 - 2^1-.....-2^p

　　<1>根据p的最大性，可以得出2^0+2^1+.....+2^(p+1) > m[i],通过联立和移项可以得出2^(p+1) > R[i],

　　　　因此，2^0,2^1,...2^p中任选几个相加可以表示出0~R[i]之间的任意一个整数。

　　<2>从2^0,2^1,....，2^p以及R[i]中选出若干个相加，可以表示出R[i] ~ R[i] + 2^p  - 1之间的任何整数，

　　　　因为R[i] + 2^p   - 1 = m[i],因此2^0,2^1,.....2^p,R[i]中选出若干个相加能表示出R[i]到M[i]的任何整数

　　

　　总结一下，就是证明分解后与分解前完全等效，没有任何区别（除了需要枚举的次数减少了）。

 

　　综上，我们可以把m[i]件物品分解成p+2件物品，其费用分别为：

　　　　　　(2^0) * w[i],(2^1) * w[i],.....,(2^p) * w[i],R[i] * w[i]

　　这p+2个物品可以凑整0 ~ m[i] * w[i]之间所有能被w[i]整除的数，且不能凑成大于m[i] * R[i]的数。

　　这等价于原问题中体积为wi的物品可以被使用0~m[i]次。

（3）算法复杂度：把原有的m[i]个物品拆分成了logm[i]个，需要枚举的次数大大减少了。

　　 因此复杂度就是：O（n^2   * logm[i]）比O（n^3）要优秀的多