区间dp
一.什么是区间dp?
顾名思义:区间dp就是在区间上进行动态规划,求解一段区间上的最优解。主要是通过合并小区间的 最优解进而得出整个大区间上最优解的dp算法。
二.核心思路
既然让我求解在一个区间上的最优解,那么我把这个区间分割成一个个小区间,求解每个小区间的最优解,再合并小区间得到大区间即可。
所以在代码实现上,我可以枚举区间长度len为每次分割成的小区间长度(由短到长不断合并),内层枚举该长度下可以的起点,自然终点也就明了了。
然后在这个起点终点之间枚举分割点,求解这段小区间在某个分割点下的最优解。
三、板子:
for(int len = 1;len <= n;len++)//枚举长度 { for(int i = 1;i+len <= n+1;i++//)枚举起点,因为len包括了起点,所以要求i+len<=n+1即可 { int end = i+len-1; for(int k = i;k < end;k++)//枚举分割点 { dp[i][end] = min(dp[i][end],dp[i][k]+dp[k+1][end]+something) } } }
时间复杂度:O(n^3)
四、具体题目:
(1)链状区间dp
例题:洛谷p1880把石子排成一圈改为石子排成一条线
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#include <iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; #define INF 0x3f3f3f int stone[105]; int dp[105][105]; int sum[105]; int main() { int n; scanf("%d",&n); memset(sum,0,sizeof(sum)); memset(dp,INF,sizeof(dp)); for(int i =1;i<=n;i++){ scanf("%d",&stone[i]); sum[i] = sum[i - 1] + stone[i];//重量 dp[i][i] = 0; } for(int len = 1;len<=n;len++){//枚举长度 for(int j = 1;j+len<=n+1;j++){//枚举起点,ends<=n int ends = j+len - 1; for(int i = j;i<ends;i++){//枚举分割点 dp[j][ends] = min(dp[j][ends],dp[j][i]+dp[i+1][ends]+sum[ends]-sum[j-1]);//更新状态 } } } cout<<dp[1][n]<<endl; return 0; }
(2)环状区间dp
例题:洛谷1880合并石子原题
思路:环状以后合并区间的情况就可以从后往前合并,最后合并完成可能是1~n,2~n~1,3~n~2.....这种n个石子合并的情况。
所以我们可以破环成链,将前n-1各元素也放到n后面构成一个线性的环状序列,在对这个序列dp即可
#include <iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; #define INF 0x3f3f3f int stone[105]; int dpmin[205][205];//最小 int dpmax[205][205];//最大 int sum[205]; int main() { int n; scanf("%d",&n); memset(sum,0,sizeof(sum)); memset(dpmin,INF,sizeof(dpmin)); memset(dpmax,-1,sizeof(dpmax)); for(int i =1;i<=n;i++){ scanf("%d",&stone[i]); sum[i] = sum[i - 1] + stone[i]; dpmin[i][i] = 0; dpmax[i][i] = 0; } for(int i = 1;i<=n;i++){ sum[i+n] = sum[i+n-1]+stone[i];//展开的n后面的n-1~1重量 dpmin[i+n][i+n] = 0; dpmax[i+n][i+n] = 0; } for(int len = 1;len<=n;len++){//长度还是最大n for(int j = 1;j+len<=2*n;j++){//起点枚举最大到2*n-1,ends<=2*n-1 int ends = j+len - 1; for(int i = j;i<ends;i++){//注意!i<ends!!!因为i=ends时,dp[ends+1][ends]是不成立的! dpmin[j][ends] = min(dpmin[j][ends],dpmin[j][i]+dpmin[i+1][ends]+sum[ends]-sum[j-1]); dpmax[j][ends] = max(dpmax[j][ends],dpmax[j][i]+dpmax[i+1][ends]+sum[ends]-sum[j-1]); } } } int ansmin = 0xfffffff; int ansmax = -1; for(int i = 1;i<=n;i++){ ansmin = min(ansmin,dpmin[i][i+n-1]);//找1~n,2~n~1,3~n~2....的合并n个堆的中最大和最小的值 ansmax = max(ansmax,dpmax[i][i+n-1]); } cout<<ansmin<<endl; cout<<ansmax<<endl; return 0; }