限制物品件数的背包问题

先看一道例题

庆功会【问题描述】w为了庆贺班级在校运动会上取得全校第一名成绩，班主任决定开一场庆功会，

为此拨款购买奖品犒劳运动员。期望拨款金额能购买最大价值的奖品，可以补充他们的精力和体力。

【输入格式】w第一行二个数n(n<=500)，m(m<=6000)，其中n代表希望购买的奖品的种数，m表示拨款金额。

w接下来n行，每行3个数，v、w、s，分别表示第I种奖品的价格、价值（价格与价值是不同的概念）和购买的数量（买0件到s件均可），

其中v<=100，w<=1000，s<=10。【输出格式】w第一行：一个数，表示此次购买能获得的最大的价值（注意！不是价格）。

【输入样例】

5 1000

80 20 4

40 50 9

30 50 7

40 30 6

20 20 1

【输出样例】1040

 

分析一下：

 

分析一下这个问题。我们首先要找状态的表示。啊，这个问题显然基于一般的01背包问题和完全背包问题，
所以可以用dp[i]表示当所用的价格为i时，最大的价值为dp[i]。
状态转移方程为dp[i] = max(dp[i],dp[i-w[i]]+v[i])
然后再考虑把对于数量的限制加入到状态转移方程中。
根据某大佬的告诫：多一个限制条件基本上（不是一定！！）就要把数组多开一维，或者要多加一层循环（也不是一定！！）。
所以我们能想到多开一维存储已经每件物品用过的件数。
啊，然后就能发现这种转移空间复杂度特别大，根本不可能实现。
因此我们就可以考虑多开一层循环枚举每个物品每次取的个数k。（以上大部分都是废话）

核心：（1）多一个限制条件基本上（不是一定！！）就要把数组多开一维，或者要多加一层循环（也不是一定！！）

　　（2）这道题就是多加一层循环

 

emmm。。。这道题还有一部分小小的细节和特判

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
    int n, m, dp[100004] = {}, savw[10004] = {}, savv[10004] = {}, savs[10004] = {};
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        scanf("%d%d%d", &savw[i],&savv[i],&savs[i]); 
    }
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
    /*    for(int k = 1;k <= savs[i];k++)
        {
            int dis = k * savw[i];
            for(int j = m;j >= dis;j--)
            {
                dp[j] = max(dp[j],dp[j-dis]+k*savv[i]);    
            }
        }*/
        for(int j = m;j >= 0;j--)//这里的j应该在k之外，这是为了重复加上k件，导致每件物品实际选的次数超过限制次数savs【i】
        {
            for(int k = 1;k <= savs[i];k++)
            {
                if(k*savw[i] <= j)
                {
                    dp[j] = max(dp[j],dp[j-k*savw[i]]+k*savv[i]);
                }
            }
        }
    }
    printf("%d", dp[m]);
    return 0;    
}