状压dp（模版及基础例题）（P1896 [SCOI2005]互不侵犯）

状压dp：

简单来说，就是基于集合的dp。本题中状态转移取决于走过的点集和当前位置（最终答案由走完了所有点的状态再回到起点）。

状压就在于记录走过的点集的状态，相当于用二进制表示。

假设0表示该点没走过，1表示走过，对于一个四个点的情况，共有16种状态

简单地说：就是用01表示一个点（位置）的使用情况，并把整个情况压缩成一个二进制数，

通过处理这个二进制数，就能用更少的运算次数和空间复杂度完成状态的转移

（其实状压DP不过就是将一个状态转化成一个数，然后用位运算进行状态的处理）

 

示例：对于一个n^2的二维01矩阵

　　　0 0 0 0

　　　0 0 1 0

　　　1 0 1 0

　　　1 1 1 1

　　　压缩之后，变为1111010101000000，存进数组就是把这个二进制数存成十进制数

　　　注意：由于对于一个数，是从最小位开始，所以把状态写成二进制数也是从最小位开始

　　　

例题：洛谷（分析都写在注释里）

P1896 [SCOI2005]互不侵犯

题目描述

在N×N的棋盘里面放K个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共8个格子。

注：数据有加强（2018/4/25）

输入格式

只有一行，包含两个数N，K （ 1 <=N <=9, 0 <= K <= N * N）

输出格式

所得的方案数

输入输出样例

输入 #1复制

3 2

输出 #1复制

16

#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 12;
long long dp[N][1<<N][N*N];//前i行，状态为j，放了k个国王 
int n, k, cnt;
long long ans;
int s[1<<N],num[1<<N];//s统计编号为j的状态压缩所产生的二进制数 
int main()//num统计编号为j的状态，所放置的国王数 
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for(int i = 0;i<(1<<n);i++)//i是当前态压缩所产生的二进制数 
    {
        if(i&(i<<1)) continue;//如果正上方已经放了一个国王，这种情况就显然不可取 
        int sum = 0;
        for(int end = 0;end < n;end++)
        {
            if(i&(1<<end)) sum++;//在二进制数上依次向左找，统计共有几个国王    
        }
        s[++cnt] = i;
        num[cnt] = sum;
    }//预处理 （这一次预处理只要保证i的位置正上方没有国王就可以了）  
    dp[0][1][0] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        for(int j = 1;j <= cnt;j++)//枚举状态（状态的编号） 
        {
            for(int p = 0;p <= k;p++)
            {
                if(p>=num[j])//num没有超过k（超过了就显然出错了啊） 
                {
                    for(int end=1;end<=cnt;end++)//枚举第i-1行可行的状态编号 
                    {
                        if(!(s[end] & s[j]) && !(s[end] & (s[j] << 1)) && !(s[end] & (s[j] >> 1)))//从第i-1行向第i行转移 
                        {
                            dp[i][j][p] += dp[i-1][end][p-num[j]];//加和    
                        }
                    }//关于三个判断条件：(1)end和j没有一位同为1（即没有竖直方向上的相同） 
                }//(2)，(3)分别判断左上，右下和左下，右上不同时出现1 
            }
        }
    }
    for(int i = 1;i <= cnt;i++)
    {
        ans += dp[n][i][k];//把所有合法的状态数和起来    
    }
    printf("%lld", ans);
    return 0;    
}