动态规划dp基本思想

例题

数塔（数字三角形）

输入n，表示输入n行数字组成的数字三角形，对于第i行，有i个数字， 求（1，1）到底边上的一条路径，要求使该路经上数字之和最大

样例如下：

输入：

　　5 

　　1

　　1 2

　　1 2 3

　　1 2 3 4 

　　1 2 3 4 5‘

输出：max = 15；

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n, sav[1005][1005] = {};
long long dp[1005][1005] = {};
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        for(int j = 1;j <= i;j++)
        {
            scanf("%d", &sav[i][j]);
        }
    }
    dp[1][1] = sav[1][1];
    for(int i = 2;i <= n;i++)
    {
        for(int j = 1;j <= i + 1;j++)
        {
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i - 1][j - 1]) + sav[i][j];
        }
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        if(dp[n][i] >= ans)
        {
            ans = dp[n][i];
        }
    }
    printf("max=%d", ans);
    return 0;    
}

 

dp的本质是在无后效性时，某一范围内最大值不受每一个小区间中所做选择的影响。

因此贪心思路基本都是不成立的（有的看起来能用贪心做，但是其实基本都有反数据）。

所以只能暴力模拟每一种情况（一定要考虑到所有情况才能解决问题）。

但是也有例外，即求每个小范围区间内的最优情况，再把所有小区间的最优情况合起来一起讨论，得到相对大一些的区间内的最优情况，最终得出全局最优解（这类题目基本都比较简单，可以少处理一些情况《没有讨论所有情况但是对所有可能最优的情况进行了充分的讨论，答案具有正确性》）。

而部分较为复杂的题目，例如将数字三角形这道题修改一下：

（1）增加负数

（2）求最大绝对值

（3）有负数，求最大值，并且给出一次清零当前累计值的机会、

我们就需要纬度不变，但是多加一个数组来存储更多需要用到的数据，有时还需要对例如第三问这样的特殊问题，讨论在每个位置清零带来的结果影响（即对于一些状态的转移，需要考虑所有的情况，但是对于其他的状态仍可用贪心优化的dp策略《即求区间最大值》）。