区间dp

区间dp

一、基本思路：分治思想，将一个序列问题不断往下分，分成满足问题条件的最小区间（长度不一定为1《其实是基本不为1》，2、3比较常见），然后解决问题。

二、dp细节：枚举i，j，k，（i是区间长度，j是起点，k不一定有）

三、基本代码框架：

（1）dfs思路：

　　　dp[][]存需要使用的数值，要初始化成memset（dp，-1，sizeof（dp））；

　　　a[]存输入值

　　　int dfs（int st， int ed）//输入区间两端点

　　　｛
　　　　　if(st + a >= ed) return 0;

　　　　　if(dp[st][ed] != -1 ) return dp[st][ed];

　　　　   dp[st][ed] = 1e9;

　　　　   for(int i = 1;i <= n;i++)

　　　　   {
　　　　　　 dp[st][ed] = (min/max){dp[st][ed], dp[st][i] + dp[i][ed] + 实际情况需要的计算（常用a[]）}；

　　　　　}

　　　｝

　　　主函数：dfs（1,n）;        结果：dp[1][n];

　　　注意：在dp状态转移方程部分,dp[i][ed] 中i可以按照实际问题要求改成i+1（通常是一个区间端点左右的数还需在处理该区间内部数据时用到）

　　　｝

（2）dp做法

　　int maxa = 1e9；

　　dp[][]存答案

　　for(int i = 2;i <= n - 1;i++)//i表示长度，j表示起点，k表示当前区间内最后删除的一个点 （闭区间）
　　{

　　　　for(int j = 1;i + j <= n;j++)
　　　　｛

　　　　　　dp[j][i + j] = maxa;
　　　　　　for(int k = j + 1;k < i + j;k++)
　　　　　　{

　　　　　　　dp[j][i + j] = min(dp[j][i+j],dp[j][k] + dp[k][i + j] + a[j] * a[k] * a[i + j]);//此时已经处理完了该区间内的所有的数据，故可看作只有最后一个删掉的数，和区间两端的数参与最后一次运算 

　　　　　　}//把两个区间拼起来 （k是分界点）
　　　　}

　　｝

四、例题（持续补充）

（1）乘法游戏

　　输入n个数，每次删去一个数，则得分 = 删去的数 * 前一个数 * 后一个数，头尾的数不可删去，要求将所有数都删去，求得分最小值

　　样例：

　　输入：　5

　　　　       3 2 1 7 9

　　输出：   96

　　思路：我们很容易想到如果想求整体数列的最小值，就一定要让每一个小部分的值最小（如果连这个小部分的值都可以更小，那么整体值一定可以更小）。

　　　　   所以我们可以先把整个数列分成很多个小区间，然后求每个区间所能达到的最优情况，再把区间合起来，最终得到的值一定是最小的。

　（2）涂色（洛谷p4170）

　　假设你有一条长度为 55 的木版，初始时没有涂过任何颜色。你希望把它的 55 个单位长度分别涂上红、绿、蓝、绿、红色，用一个长度为 55 的字符串表示这个目标：RGBGR。

　　每次你可以把一段连续的木版涂成一个给定的颜色，后涂的颜色覆盖先涂的颜色。例如第一次把木版涂成 RRRRR，第二次涂成 RGGGR，第三次涂成 RGBGR，达到目标。

　　用尽量少的涂色次数达到目标。

　　样例：AAAAA 　　输出：1

　　样例：RGBGR　　输出：3

 　   思路：我们可以用一种神奇的思路解决问题，就是最开始一个位置操作一次，则ans = n，然后再判断哪些位置可以一次涂完。

　　　　    可以发现在一个小区间内，如aba，因为两侧都有相同字符，即区间端点可以一次解决，则ans = （1 + 1 + 1） - 1；

　　　　　所以，每次发现区间的端点相等，则把该区间的ans减一；

　　　　　这种情况当然把整个序列分成无数个小序列（最短序列每个长度为1），再进行上面的操作，就能得出正确答案。