数理逻辑学习笔记[13] 哥德尔不完全性定理

目录

• 哥德尔证明
• 可表达性
• 递归论
• 哥德尔配数
• 不完全性证明
  • $\omega-$一致性

哥德尔证明

0. Q: 不完全性表达为（）不能推出（）。
   这里的$\models$是“朴素认为的真理”，并不是标准模型中的。直观确实直观，但是要说清楚要费工夫（这是直观模型，不是形式化的）
   哥德尔证明需要构造出（）中为真的某个$\mathscr U$
   A: $\models \mathscr A$，$\vdash \mathscr A$
   朴素算术$N$
1. Q: 启发哥德尔的悖论：Richard悖论。用（）表达实数。而（）这个句子会导致矛盾
   A: 自然语言句子
   和自然语言表达出的第k个数的第k位模10加1
2. Q: “对象级”和“元级”区分开是为了什么？
   这样做是罗素的（）论观点，无法得到哥德尔证明。哥德尔证明需要把元级的东西映射（编码）到对象级
   A: 比如汉字个数是“元级”概念
   严格区分对象级和元级概念有助于消除悖论（比如罗素悖论就变成了“排除某些东西不能是集合”）
   类型
3. Q: 证明中，对（）编码成（）数。关于自然数的句子就看成了关于表达式编码的句子
   A: 公式和公式序列，自然

可表达性

0. Q: 首先证明朴素概念中的$m=n$推出严格可证的$\vdash_\mathscr N$（）。
   反之$m\ne n$则（）（E7的实例，自己等于自己）
   A: $0^{(m)} = 0^{(n)}$
   $\vdash \sim(0^{(m)}=0^{(n)})$
1. Q: 如何表达朴素的$m\le n$？
   A: $\exists x_1(0^{(m)}+x_1=0^{(n)})$
   注：形式数论中可以严格证明$1\le 2$“翻译过去的句子”为真。某种意义上这就严格证明了$1\le 2$
2. Q: 可表达：朴素概念成立则（），不成立则（）
   刚刚0.和1.分别说明（）
   A: 可$\vdash$出某个公式，可$\vdash$出其否定
   $=$可表达 $\le$可表达
3. Q: 不完全，则有些公式和（）都不是定理，它们没法“表达”朴素关系
   A: 其否定
4. Q: 如何理解集合可表达？举一例
   A: 提示：一元关系。练习：表达偶数集
5. Q: 集合是特殊的关系，函数也是。所以函数可表达的概念基于关系可表达，但是多加（）。所以证明加法可表达，需要证明（）
   A: 使得关系成立的第$k+1$个位置的取值存在唯一

• $m+n=p$推出……
• $m+n\ne p$推出……
• 任意$m,n$，使得$\mathscr A(0^{(m)},0^{(n)},x)$成立的$x$存在唯一

注：所有证明过程中时刻记住$m,n,p$是非形式的记号

6. Q: 关系对应的（）函数的可表达（或称“可表示”）性在已知形式系统中（）时，和关系自身的可表达性等价。
   A: 特征
   $0\ne 0'$
7. Q: 验证一个关系可表达，往往是（），这可能很困难
   验证一个关系不可表达更困难……
   然而由（）是可数集，（）是不可数集，容易知道（）存在
   A: 要构造公式
   公式集，函数集，不可表达的函数（关系）

递归论

0. Q: 递归不以（）来定义，而是（）。类似于俄罗斯套娃（越来越小）
   A: 自身，和自身类似但是“更简单的”
   因此说递归不会导致悖论、无穷回归、循环定义
1. Q: 综合运用各种技术可以构造复杂的递归函数，比如因式分解，求第$n$个质数等。
   最终目的是（）
   A: 一切可表达函数

哥德尔配数

0. Q: 分两步，先编码符号，再编码（），结果是（）
   A: 字符串。公式、项、字符（或者没意义的字符串）、字符串序列等等都编码到自然数（单不满）
   注意用奇偶性区分字符串和字符
   更进一步由2的幂次区分字符串和字符串序列
1. Q: 编码（且可计算）到自然数，就是把理论（）化了。这样之后，数之间的关系可以表示（）之间的关系
   A: 算术
   公式（元语言中的东西）
   注：元语言的东西就进来了。例如“某序列是某公式的证明序列”，就定义了二元自然数关系$Pf(m,n)$
2. Q: 这里的“自指”用到了“更简单的”，即（），而不是完全一样的系统自身。这就把悖论转化为“佯谬”，即证明了不完全性（递归关系不足以……）
   A: 只需$D_N$上递归关系
3. Q: 一些典型易错的涉及元语言的二元关系：$Pf(m,n), W(m,n), D(m,n)$，分别表示（），（），（）
   A: $m$对应公式$n$的证明
   $n$对应$m$中$x_1$（自由）代入$0^{(m)}$的证明
   $n$对应$m$中$x_1$（自由）代入$0^{(m)}$的公式

更多参见理论计算机

不完全性证明

0. Q: $W$可表达，则存在公式$\mathscr W$使得（）。$W$是$\mathscr W$的（）
   A: 若$W(m,n)$成立则$\vdash\cdots$
   否则$\vdash\sim\cdots$
   解释
1. Q: $\mathscr W$的含义是（），这就是“对角线”
   A: “$m$代入编号恰为$m$的公式$\mathscr A(x_1)$了之后是否有证明序列$n$”

$\omega-$一致性

0. Q: 为什么说$\omega-$一致性比一般的一致性更强？
   A: $\omega-$一致：……都是定理，则$\sim\cdots$不是定理。这个一致性成立，则普通的一致也成立（因为可以找到一个不为定理的公式）
1. Q: 若（）是（）一致，则（）。这才是完整准确的表达
   注：所以使用标准模型时，因为不知道是否$\omega-$一致，所以不能简单套用
   A: $\mathscr N$，$\omega-$，不完全（$\mathscr U$和$\sim\mathscr U$都不是定理）
2. Q: 说$\mathscr U$不是定理需要的一致性强，还是说$\sim\mathscr U$的强？
   A: 后者（需要$\omega-$一致性）
3. Q: 如何把条件从$\omega-$一致弱化成一致？
   A: