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哥德尔证明

  1. Q: 不完全性表达为（）不能推出（）。
    这里的\(\models\)是“朴素认为的真理”，并不是标准模型中的。直观确实直观，但是要说清楚要费工夫（这是直观模型，不是形式化的）
    哥德尔证明需要构造出（）中为真的某个\(\mathscr U\)
    A: \(\models \mathscr A\)，\(\vdash \mathscr A\)
    朴素算术\(N\)
  2. Q: 启发哥德尔的悖论：Richard悖论。用（）表达实数。而（）这个句子会导致矛盾
    A: 自然语言句子
    和自然语言表达出的第k个数的第k位模10加1
  3. Q: “对象级”和“元级”区分开是为了什么？
    这样做是罗素的（）论观点，无法得到哥德尔证明。哥德尔证明需要把元级的东西映射（编码）到对象级
    A: 比如汉字个数是“元级”概念
    严格区分对象级和元级概念有助于消除悖论（比如罗素悖论就变成了“排除某些东西不能是集合”）
    类型
  4. Q: 证明中，对（）编码成（）数。关于自然数的句子就看成了关于表达式编码的句子
    A: 公式和公式序列，自然

可表达性

  1. Q: 首先证明朴素概念中的\(m=n\)推出严格可证的\(\vdash_\mathscr N\)（）。
    反之\(m\ne n\)则（）（E7的实例，自己等于自己）
    A: \(0^{(m)} = 0^{(n)}\)
    \(\vdash \sim(0^{(m)}=0^{(n)})\)
  2. Q: 如何表达朴素的\(m\le n\)？
    A: \(\exists x_1(0^{(m)}+x_1=0^{(n)})\)
    注：形式数论中可以严格证明\(1\le 2\)“翻译过去的句子”为真。某种意义上这就严格证明了\(1\le 2\)
  3. Q: 可表达：朴素概念成立则（），不成立则（）
    刚刚0.和1.分别说明（）
    A: 可\(\vdash\)出某个公式，可\(\vdash\)出其否定
    \(=\)可表达 \(\le\)可表达
  4. Q: 不完全，则有些公式和（）都不是定理，它们没法“表达”朴素关系
    A: 其否定
  5. Q: 如何理解集合可表达？举一例
    A: 提示：一元关系。练习：表达偶数集
  6. Q: 集合是特殊的关系，函数也是。所以函数可表达的概念基于关系可表达，但是多加（）。所以证明加法可表达，需要证明（）
    A: 使得关系成立的第\(k+1\)个位置的取值存在唯一
  • \(m+n=p\)推出……
  • \(m+n\ne p\)推出……
  • 任意\(m,n\)，使得\(\mathscr A(0^{(m)},0^{(n)},x)\)成立的\(x\)存在唯一

注：所有证明过程中时刻记住\(m,n,p\)是非形式的记号

  1. Q: 关系对应的（）函数的可表达（或称“可表示”）性在已知形式系统中（）时，和关系自身的可表达性等价。
    A: 特征
    \(0\ne 0'\)
  2. Q: 验证一个关系可表达，往往是（），这可能很困难
    验证一个关系不可表达更困难……
    然而由（）是可数集，（）是不可数集，容易知道（）存在
    A: 要构造公式
    公式集，函数集，不可表达的函数（关系）

递归论

  1. Q: 递归不以（）来定义，而是（）。类似于俄罗斯套娃（越来越小）
    A: 自身，和自身类似但是“更简单的”
    因此说递归不会导致悖论、无穷回归、循环定义
  2. Q: 综合运用各种技术可以构造复杂的递归函数，比如因式分解，求第\(n\)个质数等。
    最终目的是（）
    A: 一切可表达函数

哥德尔配数

  1. Q: 分两步，先编码符号，再编码（），结果是（）
    A: 字符串。公式、项、字符（或者没意义的字符串）、字符串序列等等都编码到自然数（单不满）
    注意用奇偶性区分字符串和字符
    更进一步由2的幂次区分字符串和字符串序列
  2. Q: 编码（且可计算）到自然数，就是把理论（）化了。这样之后，数之间的关系可以表示（）之间的关系
    A: 算术
    公式（元语言中的东西）
    注：元语言的东西就进来了。例如“某序列是某公式的证明序列”，就定义了二元自然数关系\(Pf(m,n)\)
  3. Q: 这里的“自指”用到了“更简单的”，即（），而不是完全一样的系统自身。这就把悖论转化为“佯谬”，即证明了不完全性（递归关系不足以……）
    A: 只需\(D_N\)上递归关系
  4. Q: 一些典型易错的涉及元语言的二元关系：\(Pf(m,n), W(m,n), D(m,n)\)，分别表示（），（），（）
    A: \(m\)对应公式\(n\)的证明
    \(n\)对应\(m\)中\(x_1\)（自由）代入\(0^{(m)}\)的证明
    \(n\)对应\(m\)中\(x_1\)（自由）代入\(0^{(m)}\)的公式

更多参见理论计算机

不完全性证明

  1. Q: \(W\)可表达，则存在公式\(\mathscr W\)使得（）。\(W\)是\(\mathscr W\)的（）
    A: 若\(W(m,n)\)成立则\(\vdash\cdots\)
    否则\(\vdash\sim\cdots\)
    解释
  2. Q: \(\mathscr W\)的含义是（），这就是“对角线”
    A: “\(m\)代入编号恰为\(m\)的公式\(\mathscr A(x_1)\)了之后是否有证明序列\(n\)”

\(\omega-\)一致性

  1. Q: 为什么说\(\omega-\)一致性比一般的一致性更强？
    A: \(\omega-\)一致：……都是定理，则\(\sim\cdots\)不是定理。这个一致性成立，则普通的一致也成立（因为可以找到一个不为定理的公式）
  2. Q: 若（）是（）一致，则（）。这才是完整准确的表达
    注：所以使用标准模型时，因为不知道是否\(\omega-\)一致，所以不能简单套用
    A: \(\mathscr N\)，\(\omega-\)，不完全（\(\mathscr U\)和\(\sim\mathscr U\)都不是定理）
  3. Q: 说\(\mathscr U\)不是定理需要的一致性强，还是说\(\sim\mathscr U\)的强？
    A: 后者（需要\(\omega-\)一致性）
  4. Q: 如何把条件从\(\omega-\)一致弱化成一致？
    A: