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10 有限长脉冲响应滤波器和窗函数
10.1 理想滤波器及其存在的问题
- Q: 对于抽样间隔\(\Delta\)，理想低通滤波器频谱范围为（），但时域出现了（）的问题。
A: \([-1/2\Delta,1/2\Delta]\)，需要无限长的信号
注：这里的频谱其实都相当于周期函数。
- Q: 既然时域无限长，那我们直接频域逐点相乘，出现什么问题？
A: 注意上面的“注”。这里实际上是“有无穷多个带”的带通滤波了。这些“带”按周期排列。
- Q: 某某“通”与某某“阻”滤波器的频谱有何关系？时间函数有何关系？为什么？
A: 相加之后频谱为常数。相加之后时间函数为常数倍\(\delta\)函数。
- Q: 如何计算理想微分滤波器的时间函数？
A: 回忆频谱为\(i2\pi f\)，从而容易计算出时域\(h(n) = \int_{-1/2\Delta}^{1/2\Delta}i2\pi fe^{i2\pi n\Delta f}df\)
- Q: 吉布斯现象的原因中为什么有一条“频谱突跳”？
A: 例如：可以从时间处“截断”，频域卷积\(sinc\)理解。如果没有“突跳”，自己拿“很像\(\delta\)函数的”\(sinc\)卷一下就知道没有Gibbs现象了。
直观理解：sinc有正有负，中间“主峰”多出的“正”预备着外面“还掉”。但你要是频谱突变，那就可能导致“不用还”，“耍赖”。总之没有突跳就没有此现象。
近似理想滤波器的技术要求
- Q: 解说近似理想滤波器技术指标中的关键数值。
A: 过滤带\([\omega_p,\omega_s]\)：其中“不做要求”
波动\(\delta_p,\delta_s\)：“做要求”的频段出现波动，不是严格直线。
- Q: 分贝和数字“20”有何关系？
A: 2是振幅和能量的关系，10对应“分”
10.2 时窗函数
- Q: “主瓣”和“旁瓣”的特点和截尾时间函数频谱的畸变形状有何联系？
A: 主瓣不尖，跃变就不突然。
旁瓣不可忽略，本来平的地方就出现波动。
- Q: 如何理解“主瓣宽度小”和“旁瓣水平低”矛盾？
A: 实际操作中主瓣高度一定，其宽度小时，旁瓣水平就高。
- Q: 钟形时窗\(w_3(t) = e^{-\alpha (t/T)^2}\)
的频谱近似为（），？
A: \(W_3(f)\approx \frac{\sqrt \pi T}\alpha e^{-\frac {\pi^2 T^2 f^2}{\alpha}}\)
- Q: 选取滤波器：先根据需要的（）选择（），再根据过滤带宽度（和滤波器长度\(N\)有关）选择（）
A: 阻带衰减 旁瓣峰值，时窗函数，滤波器长度\(N\)
- Q: 解说\(h=\hat h w\)的符号含义
A: 想求实际可用的滤波器时间函数\(h\)，我们需要先求出理想的\(\hat h\)（这里要求考虑过渡带中心是截频，以及物理可实现）
- Q: 求最大振幅比时窗函数的\(\delta\)参数对求解结果有何影响？
A: 影响\(cos2\pi f\Delta\)取值范围（\(-1\le x\le a\)），影响优化目标，从而改变切比雪夫多项式的系数。
- Q: 简述“最大能量比”和“特征根”的联系
A: 能量本身是二次，求导后是一次。\(U/V\)求导为0得到\(\partial V/\partial h_k = 常数\cdot \partial U/\partial h_k\)，这就有了线性方程。
11 递归滤波器的设计
11.1 递归滤波及其稳定性
- Q: 如何理解此处“递归”一词？
A: 其实是带“记忆”的递归，“空间换时间”，利用之前计算的结果，减少计算量。和算法设计中的带记忆的递归有类似之处。
- Q: 如何把\(y(t) = b_0x(t)+\cdots + b_n x(t-n) - a_1y(t-1)-\cdots - a_ny(t-n)\)表示成\(Z\)变换的关系？
A: 首先注意\(b_kx(t-k)\)对应\(b_kZ^k X(Z)\)，其次可以形式上记\(A(Z)=\sum_{k=0}^ma_kZ^k,a_0=1\). 这样容易写出形如\(H(Z) = Y(Z)/X(Z) = B(Z)/A(Z)\)，\(H\)就是滤波器的\(Z\)变换。
- Q: 误差，稳定和差分方程有何关系？
A: 可以用差分方程求出误差的通项公式。如果其中出现了模长大于1的底数，就不稳定。
误差跟\(x\)那边没关系，所以只用考察\(y\)这边(即\(A(Z)\))
\(A\)根都在单位圆外，倒数都在单位圆内。再回忆差分方程求通项公式时底数是怎么来的，就知道了。
- Q: 反向递归滤波中2.对应的结论为什么没有“相反”成“单位圆内”？
A: 人为定义问题。这里反向滤波时的\(A(Z)\)仍然定义“次数越高，离前线越远”。这点和正向一致。
- Q: \(1/(1-\alpha Z)\)当\(|\alpha|>1\)时，\(Z\)的根在单位圆内，那怎么找稳定的递归滤波器？那如果分母多项式有的根在单位圆外，有的根在单位圆内呢？
A: 看\(1/Z\)
进一步地，如果分母多项式有的根在单位圆外，有的根在单位圆内，则可以串联（相乘）或并联（加减），分两部分处理。一部分正向，一部分反向。
串联是先算中间信号，再算最终结果。每步都稳定
并联是分两部分，每部分都稳定
并联加法的意义？\(H_1-H_2\)变为\(H_1+H_2\)？
11.2 模拟滤波器的设计
- Q: 为什么不直接设计\(H(\omega)\)，而是通过\(|H(\omega)|^2=\)（）中的多项式（）来设计？
A: \(\frac 1{1+g^2(\omega)}\)，\(g(\omega)\)
\(g(\omega)\)的性质（圆内很小，圆外很大）很容易构造，例如\(\omega^n\)，切比雪夫……等。
- Q: 接上，\(|H(\omega)|^2\)怎么求出\(H\)？
A: 复数域上展开，每个\((\omega-\alpha_i)(\omega-\bar \alpha_i)\)对中取一个。
（注：如果让下半平面无零点、极点，则具有一些特殊性质）
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