目录

5 数学基础

5.4 一阶算术

  1. Q: 如何理解“算术化”和\(\mathbb H\Rightarrow \mathbb C\Rightarrow \mathbb R\Rightarrow \mathbb Q\Rightarrow \mathbb Z\Rightarrow \mathbb N\)？
    A: 把大的数系“化归”到小的数系，用小的数系表示。
    或说：把（大的数系的）理论一一映射（嵌入）到与自然数有关的理论中。对于大的数系的理论中对象，可以通过有效的计算过程在与自然数有关的理论中找到对象。
    例如\(-1\)就对应\(f_-(1)\)这样。
  2. Q: PA公理中，两条有关后继，两条定义了（），两条定义了（）。最后一条是公理模式，相当于（）法。该公理模式和二阶逻辑中的数学归纳法表示有何异同？
    A: 加法，乘法，数学归纳。
    Peano第五公设在二阶语言中表示为\(\forall A((A(0)\wedge \forall x(A(x)\to A(x+1)))\to \forall xA(x))\)
    公理模式中的\(\mathscr A\)某种程度上对应于“谓词变元”的地位（但公式集可数，谓词集不可数）。
    公理模式表示有无限条公理，故\(\mathscr N\)不是有限公理化。
  3. Q: 类似于群论中“封闭”，此处的Peano公设中的（）也没有对应公理。
    A: 前两条（0是自然数，对于\(n\)是自然数存在\(n'\)是自然数）
  • 注：总之Peano公设不致力于“逻辑主义”那样形式化。
  1. Q: PA公理为什么要把加法、乘法“写入系统内核”？Peano公设明明没有啊？
    A: 人们觉得朴素算术中，加法、乘法反复出现。写到内核比较方便。
    如果你觉得乘方非常常见也可以写入。人为规定而已。
  2. Q: 简要描述证明\(t\times s' = (t\times s)+t\)的思路。
    A: 这和一条公理直接对应。所以把公理Gen，变元换名（否则可能出现“不自由”的问题导致之后换不了项\(t,s\)等），再消去全称量词(R3)即可。
    注：公理本身是对变元，不是对项（\(s,t\)等）。对项的是R3规则的推论。
  3. Q: 形式化使用归纳法证明乘法分配律。
    A:
  • 归纳起点
    \(x_1\times (x_2 + 0) = x_1\times x_2 + x_1\times 0\)
    利用\(x_1\times x_2\)架桥。原式左侧因为E8等于\(x_1\times x_2\). 右侧也容易证明等于\(x_1\times x_2\).
  • 归纳过程
    \(\forall x_3(x_1\times (x_2+x_3)=\cdots \to x_1\times(x_2+x_3+1)=\cdots)\)
    （具体的书写略。请对照N7中的样子）
  • 刚刚的“归纳起点”和“归纳过程”都是形式化的。两个都成立，\(\wedge\)一下，就可以用N7模式（形式化的数学归纳法）
  • 总结：有多个变元，但不妨针对一个归纳。

数字项、小于号

  1. Q: \(m\ne n\)等价于\(\vdash_\mathscr N\sim\)（）(这个很有意思，是模型和证明的联系），其中“数字项”（）和（）是闭项。这里（）不是系统内的形式化记号
    A: \(0^{(m)} = 0^{(n)}\)，\(0^{(m)}\)，\(0^{(n)}\)，\(m,n\)
  2. Q: 上述结论的证明：化归到（）
    由上可以非形式地说明任意\(\mathscr N\)的模型都是（）的
    A: \(\sim(0 = 0^{(k)})\)（注：回忆\(^{(k)}\)的定义，知道\(0^{(k)}\)其实就是\((0^{(k-1)})'\)）
    无穷
  3. Q: 用自然语言描述“完全归纳”“最小数归纳”
    A: 提示：完全归纳：“小于的都成立则新的也成立，则对任意数成立”（注：其证明当然是设法用N7）
    最小数归纳：“存在‘最小数’，自己在集合中，更小的不在集合中”

算术模型

  1. Q: （）的公理是否在（）为真，就是是否可靠。如果认为确实为真，换句话说就是承认（）为（）的模型，那么我们的想法：有模型就有一致性。然而这个存在漏洞，因为（）
    A: \(\mathscr N\)，标准模型\(\mathfrak N\)，\(\mathfrak N\)，\(\mathscr N\)，涉及可列集则涉及朴素集合论（朴素集合论坏事）
  2. Q: 为什么说完全性依赖于一致性，一致性更根本？
    A: 因为有了一致（有模型），就容易根据完全性定理的证明过程证明完全性（类比前面跟等词相关的那里）
  3. Q: 考察朴素模型\(N\)，还是有没法和\(\mathscr N\)建立联系的问题（不能说明朴素的\(N\)是\(\mathscr N\)的模型）。那要是直接暴力由\(N\)生成一个系统呢？
    A: 生成的不是Peano算术系统。甚至不是有限公理化
    当然，这取决于你怎么理解“朴素算术”这个词。如果理解成暴力列乘法表加法表之类的，那当然不是有限公理化。
  4. Q: 如果没有哥德尔不完全性定理，不考虑（）问题，那么数论专家就要赋闲了。
    A: 计算复杂度（NP难解）

5.5 形式集论

  1. Q: 朴素集论中，集合没有严格定义，是直观概念。有关系（）和（）。集合元素可以是集合
    A: 属于，包含于
  2. Q: 罗素悖论可以形式表示为\(\exists y\)（）不成立。也就是\(\sim\forall x(x\in y\leftrightarrow x\notin x)\)
    A: \(\forall x(x\in y \leftrightarrow x\notin x)\)
    注：这里不需要\(\in\)的具体语义。只需要知道\(\in\)和\(\notin\)分别是某个谓词和其否定的缩写，就通过PL演算知道\(\vdash \sim(y\in y\leftrightarrow y\notin y)\). 当然，能证明\(\vdash\sim\)了，自然也就\(\models \sim\)，也就是语义层面也不可能存在罗素集合
    注：这样一看悖论其实挺好破解的，就是某个东西不存在。强行令它存在就错了。
  3. Q: 类型论中自指要在（）表达从而避免了悖论。公理化集论不保留（）论对抽象的限制（具象化），“从头开始”搭建集论。（类比“形式数论”。反正就是从最抽象，最少结构开始搭）
    A: 元语言
    朴素集

ZF1 - ZF5

  1. Q: 一阶ZF语言有（）个谓词符，（）个函项符
    A: 2（其解释分别是等于，属于），0（所有项都是变元或称集、类）
  2. Q: “两集相等当且仅当它们有相同的元素”和“\(A\subseteq B\)当且仅当（）”本质有何区别？
    A: 一切\(x\in A\)都有\(x\in B\)
    前者是外延公理，后者是人为定义的记号
  3. Q: 无序对\(\{\}\)和有序对（）记号都是形式记号。其实它们都表示根据（）公理得到的“存在”的对象
    A: \(\langle \rangle\)，对集(Pairing)
  4. Q: 断言存在某个对象，那就可以形式上“定义函项”。用这种方式除了制造对集，还有什么集？
    A: 前面的“空集”也是。并集（推论：交、补）。幂集。
  5. Q: 接上，这类公理内层都是“存在……任意……”结构，为什么？
    A: 存在某个集合，任意元素，在这个集合中等价于……
    注：朴素集合论中笛卡尔积也用类似手段定义。不过我们这里没有引入

ZF6 - ZF8

  1. Q: 替换公理模式的前提如何理解？
    A: 提示：“诱导函项”
  2. Q: 无穷公理中构造出了一个无穷集，这个无穷集中有个元素\(\{\emptyset\}\)，它是（）的缩写。它可以缩写为（）
    A: \(\{\emptyset,\emptyset\}\)，1
    （练习：可以证明\(0\ne 1\)）
  3. Q: 为什么基础公理可以使得\(\{x|x\in x\}\)不合法？
    A: 要求非空集存在和自己不相交的元素。\(\{x|x\in x\}\)显然就不合法了
  4. Q: ZF能排除（），且能保持许多（）的结果。那还有什么缺陷？
    A: 罗素悖论，朴素集论
    容易被推广解决的：处理个体
    暂时无法解决且看不到希望的：排除了罗素悖论，还有其它悖论吗？（是否一致？）

AC和ZFC总结

  1. Q: 背诵选择公理的三种等价叙述
    A:
  • 对任一由互不相交的非空集组成的集\(x\)，存在至少一个集\(y\)，它与\(x\)的每一元素（非空集）恰好有一个公共元素
  • 若一个偏序集的每条链存在一个上确界，则该偏序集存在一个极大元
  • 每个集都是良序的（所有非空子集在全序关系下都存在最小元素）
  1. Q: AC独立于ZF：用（）推不出AC. AC被普遍使用，但有争议，比如（）
    A: ZF
    造成反直觉结果。构造讨厌的东西（不可测集）
  2. Q: 独立性的推论：若ZF一致，则（）一致
    A: ZFC
  3. Q: 集合是类，（）也是类。程序设计语言中的类一般（）（选填“是”或“不是”）真类
    A: 真类（不能作为ZFC集合的类），不是
  4. Q: 无穷旅馆和分球悖论有何共同点？
    A: 这种口语中“悖论”其实很多是佯谬的意思。实际没矛盾。只是和直觉不同
    额，按照之前讨论过的东西，当然你说罗素悖论是佯谬也行。

基数，连续统假设

  1. Q: 基数（元素“个数”），通过映射定义。例如可数集：（）
    A: 与自然数集一一对应的集
  2. Q: 实数集不可数，基数\(c=\)（），连续统假设猜想（）=（），即（）的无穷子集要么和（）有相同基数要么可数。
    A: \(2^{\aleph_0}\)，\(c\)，\(\aleph_1\)，实数集，实数集
  3. Q: CH和ZF有什么已经证明的关系?
    A: 一致。独立。
    注：这是希尔伯特23个问题中的第一个

5.6 一致性问题

  1. Q: 一阶逻辑具有绝对一致性，而数学中实际很多时候只能用相对一致性推来推去（尚未知ZF是否具有一致性），即（）
    A: \(S^*\)是\(S\)的扩充，容易证明\(S^*\)一致推出\(S\)一致
    例如：ZF一致推出\(\mathscr N\)一致

至今尚未发现明确的思想和技术路线解决ZF一致性问题（或其它数学系统的绝对一致性问题）
不建议在没有充分准备条件下立志解决这个数学的根本问题