5 数学基础
5.1 数学系统
- Q: 一阶系统和模型分别和数学领域有什么关系？
A: 一阶系统不涉及具体语义（数学领域）。适当一阶系统，再选择特定模型作为解释，能够表达某数学领域的许多数学定理、逻辑定理。 - Q: 形式主义和逻辑主义有何区别？
A: 形式主义：公理不一定是逻辑的公理（不强调一切系统都由……而来），数学本身公理系统也可以
5.2 带等词的一阶系统
- Q: 等词公理中为什么没有对称性和传递性？
A: 显然可以通过课件中的E7和E9推出。
例如：\(\vdash x=y\to(x=x\to y=x)\)是E9（简化了写法）的实例。 - Q: 如何理解“等词公理中可有自由变元出现”“可写成全称闭式”？
A: 原始定义可以有自由变元出现。但根据公式和全称闭式逻辑等价，其实也可以写全称闭式，不影响公理的使用结果。 - Q: E7是公理模式吗？E8和E9呢？这样一来，E7够用吗？
A: \(A_1^2(x_1,x_1)\)可以先变闭式（回忆刚才说的）再做约束变元换名，再去除\(\forall x_i\). 所以E7只是一条公理却相当于了“自反性”的无数条公理。
E8, E9是公理模式（一个是关于“等式”的替换，一个是一般公式的替换） - Q: 等价的等词公理：自反性不变，另一个变成了（）公式中的项替换。从这种公式的项替换可以推出一般的公式中的项替换。
一些关键步骤举例：\(x_1=x_1\)是特殊的（）公式，这样\(=\)就有对称性，从而外层\(\sim\)的情况得证
注：所以容易从K7 K8推出E7-E9
A: 原子，原子 - Q: 等词的解释一定是等号吗？为什么？
A: 提示：等价关系，满足等价关系的各种性质（可以替换，自反……等等）但不一定是等号。 - Q: 接上，如果等词解释不是等号，我们人为取（）的集合作为论域，构造模型，这之中等号确实就是等词的解释。
注意需要说明新的论域中能构造出良定义的原一阶系统的模型\(M^*\).
即两个要点：
- \(\hat A_i^n([y_1],\cdots)=\bar A_i^n(y_1,\cdots)\)这类式子在（）于（）范围内变化时，左侧不会变化（函项和谓词解释唯一）
- （）在新模型\(M^*\)为真。
A: 等词解释对应的等价关系对应的等价类
\(y_i\)，\([y_i]\)（注：可以看到当然需要等词相关的公理），原一阶系统一切公理（注：反证显然）
规范模型
- Q: 由于带等词的一阶系统有基数为（）的模型，再根据（）的等价类为（）得到（）。
A: 可数，可数集，可数集，带等词的一阶系统有基数为可数集的模型
（注：可数包含有限） - Q: 5.13怎么证？
- Q: 带等词一阶逻辑的可靠性定理相比之前的可靠性定理需要额外考察（）。
而完全性定理证明中，如何理解Löwenheim-Skolem定理在此的使用？这是循环论证吗？
A: 等词公理
先利用不带等词（之前证明过的）的Löwenheim-Skolem定理找到可数模型，进一步变成可数的规范模型。从而“一致扩充有可数模型”变成了“一致扩充有可数规范模型”，从而利用和之前类似的做法证明。
- 注：Löwenheim-Skolem定理并不能帮你绕过“从一致构造模型”的关键过程）
- 注：这里完全性定理的完整陈述（“有效”的定义）应当要关注模型是不是规范模型。所以才需要特别强调“变成规范模型”。
存在唯一量词，摹状词
- Q: 为什么“唯一”“至多一个”和“等词”有关？
A: 任意满足某性质的都和……相等。
注：这样一来，一个\(\exists !\)量词对应两个（原始的）\(\forall\)量词。且需要多引入一个约束变元\(x_j\)（课件上说“不妨取\(x_i\)之后的第一个”，实际上是做“选择”） - Q: 定摹状词\(\iota xA(x)\)不存在是什么意思？
A: \(\iota xA(x)\)不存在意为并不是存在唯一\(x\)使得\(A(x)\)成立。 - Q: 形式记号\((\iota) B(\iota xA(x))\)中，\(\iota xA(x)\)的辖域是什么？
A: 注意：形式记号而已。不要因为我们以前往往习惯对\(\forall x, \exists x, \iota x\)这种考察辖域，而对“考察\(\iota xA(x)\)的辖域”感到不习惯！
是\(B(\iota xA(x))\).
理解：根据形式记号\((\iota)\)的定义，写出\(\exists y(\forall x(A(x)\leftrightarrow x=y)\wedge B(y))\)，\(x\)在其中约束。
更显式的，\((\iota) B(\iota xA(x),y), x)\wedge p\)这种表达式，等价于\(\exists z(\forall x(A(x)\leftrightarrow x=z)\wedge B(z,y))\wedge p\)，其中显然可以看到辖域\(B(\iota xA(x),y)\) - Q: 根据定义证明\(E!\iota xA(x)\to \exists !xA(x)\)
A:
前者定义\(\exists y\exists z(z =y \wedge \forall x(A(x)\leftrightarrow x=z))\)
后者定义\(\exists x(A(x)\wedge \forall y(A(y)\to x=y))\)
我们只需证明\(\forall x \sim(A(x)\wedge \forall y(A(y)\to x=y))\to \forall y\forall z \sim (z =y \wedge \forall x(A(x)\leftrightarrow x=z))\)
根据K6，只需证明\(\forall y\forall z(\cdots)\)
进一步根据Gen只需证明\((\cdots)\)，根据K3只需证明
\((z=y\wedge \forall x (A(x)\leftrightarrow x=z))\to \exists x(A(x)\wedge \forall y(A(y)\to x=y))\)
根据存在量词引入规则只需证明
\(\forall x(A(x)\leftrightarrow x=z)\to (A(z)\wedge \forall y (A(y) \to z=y))\)，这显然
另一侧略
等词附录
- Q: 函项符的消去和“存在唯一”有何关系？
A: \(x\)的函数值\(f(x)=y\)唯一。所以为了消去，很自然的方法是\(\wedge\)一个含有\(\exists !\)的东西。具体地，形如\(\forall x\exists !yP(x,y)\wedge \mathscr A^*\) - Q: 说出几条纯谓词演算和普通演算的区别。
A: 斯科伦式和原式是否逻辑等价。计算复杂度。等等
注：然而函项符消去不能降低复杂度。因为消去的过程也引入复杂度
注：一般的规律：消去能减少用到的结构数量，更加“平坦”，“verbose”（啰嗦）。比如等词消去，直接变得非常verbose
5.3 群论
- Q: 群论新引入几个函项符，几条公理？
A: 如果不计算单位元（常元），则引入了逆和积两个函项符。
公理：结合、（左）单位元、（左）逆元。
注：“运算封闭”是一阶系统本来就有的性质，不需要额外说。 - Q: \(e(ee)=e\)形式化为什么，证明的要点是什么？
A: \(f_1^2(a_1,f_1^2(a_1,a_1))=a_1\)
利用K5得到左侧等于\(f_1^2(a_1,a_1)\)，再利用一次K5和等价关系的传递性。
（注：我这里说“K5”不说“Gen和K5”，意思是我使用的G1-G3本来就是全称闭式） - Q: 如何理解“群系统存在不是群的模型”？
A: 任意（朴素）群都可以是（可以设法成为）群系统的模型。
但是类似于考察“规范模型”中那样，这里的“=”也可能不解释为真正的“=”，而是其他的等价关系（如同余）。
从而有些模型不是（朴素）群（当然，在这些不规范的模型基础上可进一步构造规范模型）
更深入理解：严格定义群恰恰是通过规范模型定义的，从这个角度“群系统存在不是群的模型”只是一个人为定义。
附录
- Q: 用逻辑考察程序语言有哪些考察点？
A: 比如公理化语义，完全性等 - Q: 一句话概括非标准分析的思想
A: 形式化定义无穷小（严格存在这么个东西），构造模型，和现有通用的模型等价（注：不一定是同构）
勘误集
ml-5_1.pdf
- p5 注在下面被挡住了
- p36 斯科伦前束范式的定义处有笔误
- p37 有个A忘了花体
