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4 一阶逻辑：证明论
4.5 完全性定理
预备
- Q: 完全性定理是说“真值为真推出是定理”还是“重言式是定理”？
A: 对于FOL，两者都不对。是“逻辑有效（任何解释真值为真）”推出是定理。
- Q: 命题逻辑完全性定理Henkin证法：\(\mathscr A\)不是定理则其否定\(\sim\mathscr A\)能够被（）。扩充找到一组赋值使得\(\mathscr A\)赋值为（）从而（）。
A: 加入系统不影响一致性
0（假）
不是定理就不是重言式（完全性定理得证）
- Q: 下面开始比较一阶逻辑和命题逻辑的区别。
对于证明\(\mathscr A\)不是定理则其否定\(\sim\mathscr A\)能够被加入系统而不影响（），我们需要用闭式保证（）定理能用。
由上，可以得到“一致完全扩充”，和命题逻辑相同。
A: 一致性，演绎
- Q: 对比一阶逻辑和命题逻辑中完全性定理和“系统的完全性”
A: 都是说包含的定理不能太少。
命题逻辑：完全性定理是说包含一切重言式；系统（\(L\)的扩充）的完全性是说任何\(\mathscr A\)，其自身或者否定是定理。
完全性定理是对一切\(L\)的扩充都成立的，但系统的完全性未必。
一阶逻辑：完全性定理是说包含一切逻辑有效式；系统（\(K\)的扩充）的完全性是说任何闭式\(\mathscr A\)，其自身或者否定是定理。（回忆“闭式”和定理的联系）
完全性定理是对一切\(K\)的扩充都成立的，但系统的完全性未必。
两者类似，只有“闭式”一处不同。
- 还有一点特别易错：对于FOL，认识论完全需要考虑闭式，但“完全性定理”不需要（不过闭式在证明完全性定理中起到重要作用）
- Q: \(S^+\)系统作为\(S\)在\(\mathscr L^+\)的扩充是什么意思？为什么这样的扩充保持一致性？
A: 只是增加了一些\(\mathscr L\)常元。仍用原来的公理模式。
可以把\(\mathscr A(b_1)\)换成\(\mathscr A(x_i)\)这样操作，从\(S^+\)的公理得到对应的\(S\)的公理（语法合理，语义不需要相同）。不一致就仍不一致
（当然，这需要\(S\)中常元、变元等不能都只有有限个。因为要用全新的变元常元等去换）
可替代系统
- Q: 为什么可替代系统只研究只含一个自由变元的公式就够了？
A: 研究可替代系统是为了证明一致扩充有模型
在证明一致扩充有模型时，Gen一次最多针对一个自由变元。如果Gen后是闭式那么Gen前最多一个自由变元。（回忆完全性定义中要求闭式）
- Q: 回忆命题逻辑中技术，添加一条公理使得一致的体系不一致了，这就一定使得（）能\(\vdash\)（）。即添加的这条公理在原系统中是矛盾式。
但是\(\sim \forall x_{i_n}\mathscr F_n(x_{i_n}) \to \sim \mathscr F_n(c_n)\)不可能是矛盾式，因为（）
A: \(\mathscr A\)，\(\mathscr B,\sim\mathscr B\)
如果矛盾了，则前件为真，后件为假，从而利用之前说过的“语法替代语义不管”容易得到矛盾
- Q: 上述步骤得到了一列一致扩充，先进行无穷次，得到\(S_\infty\)（也是（）扩充）。它是完全扩充吗？
A: 一致。
不是。认识论意义的完全扩充需要扩充的比它更多（不过具体技术有一点是类似的，都是扩充可数次，不影响一致性）
- Q: 接上，通过“更多”扩充得到一致完全系统，其中所有闭式都因为（）有了真值（指定真值的方法：用“是否\(\vdash\)”为依据，根据完全性这一定有定义。根据这个，指定解释中\(A(d_1,\cdots)\)是否被认为“满足”或说“真”）
那闭项呢？
A: T的构造（定义）
我们构造的\(\mathscr L^+\)的解释\(I\)的论域\(D_I\)就是所有的闭项集合（可数集）。所以直接取解释就是对应的闭项即可。
一致扩充的模型
- Q: 刚刚的一致完全系统T可以帮助构造一致扩充（一致的一阶系统S）的模型，而这首先要证明\(\vdash_T\)等价于（）。归纳起点是（）
对于\(\sim\)，\(\vdash \sim\mathscr B\)则\(\mathscr B\)（），所以\(\mathscr B\)在解释\(I\)不为真，则根据\(\mathscr B\)是（），有（）。另一个方向也很简单，略（需要完全性）。
对于\(\to\)也类似地利用（）性和（）式。并且需要重言式\(\mathscr B\to (\sim\mathscr C \to \sim(\mathscr B\to \mathscr C))\)等等。
注：构造出的模型是（）的模型，故要“限制”一下，不能包含多余的记号的解释。
A: \(I\models\)
T的定义（完全性）和解释I的定义（注意对I只对原子做了定义。之后是需要证明的）
不是（T的）定理，闭式，\(\sim\mathscr B\)在解释\(I\)为真
完全，闭
T
- Q: 接上，对于\(\forall x_i\)，如果内层是闭式，那么很简单（可以用归纳假设，以及加了全称量词后的“同时为真”性质）。内层不是闭式，不能直接用归纳假设，那注意到内层最多（）个（）变元，设为（）。所以可以利用前述“可替代系统”指定的公式（）是公理做出论证。
A: 1，自由，\(x_i\)，\(\sim \forall x_{i_m} \mathscr F_m(x_{i_m}) \to \sim \mathscr F_m(x_{c_m})\)
- Q:
接上，具体地，\(I\models \mathscr A\)（其中\(\mathscr A\)是\(\forall x_{i_m} \mathscr F_m(x_{i_m})\)）推出\(I\models \mathscr F_m(x_{c_m})\)（这里只用到（）论）
从而（）。
而如果\(I\)不\(\vdash \mathscr A\)则（），矛盾。
A: 模型
\(\vdash \mathscr F_m (x_{c_m})\)（归纳假设）
根据\(\mathscr A\)闭得到\(\vdash \sim\mathscr A\)从而根据添加的公理得\(\vdash \sim\mathscr F_m(x_{c_m})\)
- Q: 反之，如果\(\vdash_T \mathscr A\)但是存在一个赋值不满足，那么由于变元的赋值在论域中，也就是（），得到\(\vdash \sim\mathscr F_m(d)\). 进而（）。
A: 闭项（如设为\(d\)）（注：从\(v(x_{i_m})=v(d)\)，然后用公式的项替换处的结论推出此处结论。注意其中\(d\)是闭式从而在任意公式中对\(x_i\)自由）
和\(\vdash_T \mathscr A\)直接用K5和MP得到的\(\vdash_T \mathscr F_m(d)\)矛盾了
- Q: 由上证明完全性定理。若一个公式有效，则其（）有效。若一个公式不是定理，则其（）也不是定理（逻辑等价性）。于是（）被加入不影响一致性，而（）有模型，从而容易推出矛盾（和有效性矛盾）。
请回忆“预备”题3.
A: 全称闭式，全称闭式，该公式否定，新的（一致）系统
4.6 模型和一致性
- Q: 公式集的模型和一阶系统的模型有什么联系？
A: 一阶系统的所有定理也是一个公式集。
注：一阶系统的模型：定义是对定理。但是其实只对公理就够了
- Q: 为什么一致但不完全的一阶系统至少有两个不同的模型？
A: 至少有两个不同的一致扩充。
- Q: 由于“有模型推出一致”（第二完全性定理的一侧）并不要求论域是否可数（另一侧一致推出有模型得到的是可数模型）。所以对于存在（）模型的一阶系统，可以推出存在（）模型。
A: 论域为不可数集的，论域为可数集的
- Q: 拓展的可靠性定理：针对一阶系统S（不一定是原始的一阶语言），如果\(\mathscr A\)（我称之为）是某种意义上关于S的“有效式”，即\(\mathscr A\)（）为真，那么（）
A: 对于一切S的模型，\(\mathscr A\)是S中定理
注：即拓展的“有效式”是系统的定理。但是不一定是原始一阶语言的定理
- Q: 论域基数小有模型则论域基数更大也有模型（证明不展开）。那论域基数大有模型则论域基数小也有模型嘛？
A: 不一定，比如\(\forall x_i A(x_i)\wedge \exists x_i \sim A(x_i)\)在论域为单元素集时无模型。
- Q: 紧致性：由于证明序列的有限，所以一阶系统的不一致性可以转化为（）条（）的（）。
A: 有限，公理，不一致性
注：反复用到第二完全性定理
- Q: 比较一致系统诱导模型与模型诱导一致系统的异同。
A: 前者是对已知一致性和可靠性时考察认识论完全性，后者已知认识论完全性和可靠性时考察一致性。
前者不一定唯一，后者唯一。等等
判定
- Q: 公理化、完全、半可判定是何关系？
A: 公理化和完全推出半可判定
公理化：能行判断是否是公理（注意这里是一定“停机”的那种，而不是半可判定）。但不一定能行判断是否是定理。
如果公理化和完全，就可以能行枚举公理，从而利用完全性定理能行枚举定理。
联系理论计算机：停机一定是定理，但是不停机不知道是暂未停机还是不是定理。
- Q: 不一致和判定是何关系？
A: 不一致则一切公式都是定理。可判定。
附录
- Q: 为什么之前说的FOL是广义FOL的特例，也是二阶逻辑的特例？
A: 限制广义FOL的非逻辑符号可数，就是FOL
一阶逻辑是二阶逻辑的子系统（只包含一部分符号，公理，模式）
- Q: 二阶公理系统新增的公理和模式之中，哪些和之前的类比最不明显？
A: 其它基本都有直接类比。只有谓词的引入（Comprehensive）和函项的引入（function definition）没有直接类比。
- Q: 二阶逻辑可靠而不（）。所以我们不妨做出一定限制使其完全，并让他更容易在（）等领域应用。
A: 完全，定理自动证明 数学 逻辑编程……
勘误集
ml-4_3.pdf
- p99 有个LaTeX引用没了。
- p103 也有
- p103 应当是“若有对象没有性质……”
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