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7 有限离散傅氏变换

7.1 有限离散傅氏变换、有限离散频谱引起的假信号

  1. Q: 如何理解\(1/N\Delta\)分母的两项？\(1/(N-1)\Delta\)为什么不行呢？
    A: \(\Delta\)：\([0,1/\Delta]\)就是待考察有意义频谱范围。\(1/N\)可以理解为时域乘方波频域卷积\(sinc\)时，只有\(1/N\Delta\)间隔可以使得\(sinc\)被采样成\(\delta\)函数。（因此不能是\(1/(N-1)\)或者其它什么间隔）
    注：一个域的全范围是另一个域的间隔，这也让人联想采样定理（带限）
  2. Q: 可以把\(X(f_m) = \sum_{n=0}^{N-1}x(n\Delta) e^{-inm 2\pi /N}\)看成什么的特例？
    A: \(X(f) = \sum_n x(n\Delta)e^{-i2\pi n\Delta f}\)（离散信号的频谱，代入\(f_m = m/N\Delta\)）
    参考73页“离散信号与频谱的简化表示”
  3. Q: 接上，本来应该是\(x(n\Delta) = \Delta \int X(f) e^{i2\pi fn\Delta}df\)，那怎么变成了离散的呢？
    A: 时域带限为\(N\Delta\)，频域采样间隔\(1/N\Delta\)即可。
    类比之前抽样定理结论中的“频域在某一区间相同”，我们这里是时域在某一区间相同，即可以写出
    \(\int X(f) e^{i2\pi ft}df\)和\(\sum \Delta_f X(m\Delta_f) e^{i2\pi tm\Delta_f}=\sum \frac 1{N\Delta} X(\frac m{N\Delta})e^{i2\pi tm/N\Delta}\)（都是时域）在某一区间相同。
    但是，回忆1.，我们这里用的是课本所谓简化表示，所以带\(\Delta\)的地方不一样，即
    \(x(n\Delta) = \Delta \int X(f) e^{i2\pi fn\Delta}df\)，而不是\(\int X(f) e^{i2\pi fn\Delta}df\)
    得\(x(n\Delta) = 1/N\cdot \sum X(m/N\Delta) e^{i2\pi n\Delta m/N\Delta}\)（注意代入\(t=n\Delta\)）
    注：一个助记：\(i2\pi ft对应着 i2\pi \Delta_f m\Delta n\)，最后注意\(\Delta_f \Delta =1/N\)就很好记了。
  4. Q: 证明有限离散傅氏变换的唯一性只需要（）知识。
    A: 等比级数求和（或：三角恒等变换）
    总之非常初等。
  5. Q: 考察有限离散傅氏变换时的区间不对称会如何破坏结果的对称性？举一例。
    A: 比如\(x_n = cosn k_0 2\pi /N\)，本来频谱显然是在对称的\(\pm k_0\)两点，但现在强行被变成了\(k_0\)和\(N-k_0\)两点。
  6. Q: 接上，对于实信号频谱的有关于“对称”的结论，因此产生了什么改变？
    A: 提示：原来是“共轭对称”，现在这个“对称”的“取相反数”步骤变成了\(N-m\)这样。
  7. Q: 如果信号不满足带限（有限），则多余的那些（）（形容词）信号会被“折叠”进来。这类似于之前的（）现象。证明和之前有何异同？
    A: 假，假频。
    积分分成可数段变成了求和分成可数段。
    \(x_d(n\Delta) = \sum_k x((n+kN)\Delta)\)
  8. Q: 假信号带来频谱误差估计：频谱其实都是由\(\sum x()e^{\cdots}\)得到的，而添加假信号前后，其实变的只有（）部分的（）因子。出现系数2的原因是（）
    注：添加假信号后时域的误差估计是straightforward的。
    A: 假信号，\(e^{\cdots}\)，“一出一入”（即\(|e^{ir_1}-e^{ir_2}|\le 2,r_1,r_2\in\mathbb R\)）

7.2 快速傅氏变换(FFT)

  1. Q: \(G_m = \sum _{t=0}^{N/2-1}g_l(W_N^2)^{lm}\)跟一般情况的傅里叶变换有何联系？
    A: 回忆\(X_m = \sum x_n (e^{-i2\pi /N})^{nm}\)，进行对照，就能发现\(G_m\)的计算就是离散傅里叶变换的特例（且是\(N/2\)的，而不是\(N\)的）
  2. Q: 解释“二进制逆序”和“奇偶划分”的关系。
    A: 正常排序是先看高位再看低位。二进制逆序（“看奇偶性”）是先看低位再看高位。
    二进制逆序单调递增则前面的为0，4这种，后面的为1，5，3，7这种。
  3. Q: 怎么把\(X_m = G_m + W_N^m H_m\)改写成只使用\(1\le m\le N/2-1\)的形式？
    A: 首先利用周期性，其次容易证明\(W_N^m H_{m-N/2}=-W_N^{m-N/2}H_{m-N/2}=-W_N^l H_l\)，从而可以节省乘法次数。（计算好\(W_N^mH_m\)然后直接分别加减即可）
    （注：这里可以称为“时域奇偶分，频域上下分”，也就是\(m\)大的那部分通过一个符号“移到”\(m\)小。参见4.）
  4. Q: FFT计算的每次循环都是两两配对做（）运算。故共（）对，（）次加法，（）次乘法。（此处暂时忽略那些由于\(m=0\)而省略的乘法）
    A: 一次乘法两次加法（或说：一次乘法一次加法一次减法），\(Nk/2\)，\(Nk\)，\(Nk/2\).
    其中\(N=2^k\).
  5. Q: 时域分解和频域分解的“配对”流程有何不同？
    注：口诀：
    时域分解，时域奇偶分，频域上下分
    频域分解，频域奇偶分，时域上下分
    A:
    其实更多来说是一个约定问题。总之两个域都要分解，只不过哪个用什么分法。
  • 时域分解最外层是时域奇偶分
    \(X_m = \sum_{l=0}^{N/2 - 1} x_{2l} (W_N^2)^{lm}+ \sum_{l=0}^{N/2 - 1} x_{2l+1}(W_N^2)^{lm} \cdot W_N^m\)
  • 频域分解是时域上下分，
    \(X_m = \sum _{n=0}^{N/2-1}(x_n +x_{n+N/2}W_N^{mN/2})W_N^{nm}\)
    讨论\(m\)奇偶性即可。所以“频域奇偶分”
  • 注：时域分解，最外层（最后）时域奇偶分，所以，计算开始时是\(x_0,x_4\)配对，最后\(x_0,x_1\)配对（“奇偶分”）
    频域分解，仍然是计算开始时\(x_0,x_4\)配对（“上下分”），最后\(x_0,x_1\)配对。总之开始时都是\(x_0,x_4\)配对。
  1. Q: 用分治法的一般步骤（分，治，归并）解释4.
    A: 提示：时域奇偶分时，最后才能奇偶配对（递归的“最外层”在最后计算）。时域上下分时，最开始就上下配对（递归“最外层”在最先计算）。
    一个是分的过程非平凡，一个是归并的过程非平凡。

7.3 有限离散傅氏变换的循环褶积

  1. Q: 什么式子通过一步什么变形可以变成\(\frac 1N \sum X_mY_m e^{i2\pi nm/N}\)，也可以通过一步什么变形变成\(\sum y_l x_{n-l}\)？
    A: \(\frac 1N\sum_m \sum_l y_l e^{-i2\pi ml/N}X_me^{i2\pi nm/N}\)
    变形方式一个是频域变成时域，一个是时域变成频域。
    注：总之这个很好记，\(Z_m = X_mY_m\)和\(z_n = x_n*y_n[N]\)都没有系数
  2. Q: 如何理解\(\sum y_{N-k}x_{n+k}\)？
    A: 提示：脚标和为\(N+n\)，相当于脚标和为\(n\)（注意“循环”的记号约定）。
    总之\(z_n\)的可能表达有很多种等价形式
  3. Q: 长度为\(M\)和\(L\)两个有限离散信号（自然）卷积长度就是\(M+L\)嘛？
    A: 不是。是\(M+L-1\).
    提示：脚标和范围\(0\)到\(M+L-2\)（含）
  4. Q: 为了循环卷积时不要有unexpected重合，为什么需要\(n\ge M+L-1-N\)？
    A: \(M+L-1\)就是“本来应该”的卷积结果长度，\(0\)至\(M+L-2\)就是本来应该的范围。
    如果该范围里出现了两个模\(N\)同余为\(n\)就爆了。
    所以其实可以写成\(N+n > M+L-2\)
  5. Q: 如何理解\(2^{k-1}< M+L-1\le 2^k\)？
    A: \(N=2^k\ge M+L-1\)时，\(\forall 0\le n\le N-1\)有\(N+n \ge M+L-1\)
    注：实际工程中，不为\(2^k\)问题不是很大。因为matlab等等软件其实对非\(2^k\)优化得已经不错了。但是如果\(M+L-1\)这个不满足那就出错了。
  6. Q: 如果\(M,L\)量级相差大，咋办？
    A: 分段求。每段长为\(N-L+1\)，和\(L\)长度的做运算。其中一般\(N\ge 2L\)
  7. Q: 如何理解“最后\(M_0\)个数就是我们所要的褶积”？
    A: 提示
  • “卷积核”（长为\(L\)）中非零部分都放到后面。被卷积信号分成一系列长为\(M_0\)的段。则分段卷积结果（长为\(M_0+L-1\)）中
    • 最后一位对应着“考察被卷积小段的最后\(L\)位”
    • 倒数第二位对应着“考察被卷积小段的除去最后一位的后\(L\)位”
    • 以此类推
    • 其实画图就清楚了
  • 注：被卷积信号被分成的第一段比较特殊，前面是0，最后的一部分才是非零段。

7.4 应用快速傅氏变换进行频谱分析

  1. Q: 如何得到符合FFT要求的长为（）的序列？
    A: \(2^k\)
    添0（太短），截取（无限长，或太长）（可能还涉及时窗函数等，参见第十章）
    注：这里不是卷积，所以并不是\(2^k \ge M+L-1\)，而是\(2^k \ge N\)即可
  2. Q: 最大值频率点和中间值频率点的“点”如何理解？
    A: 频谱离散化了，所以不一定能卡到你任意想要的点。所以最大值频率点往往不一定是实际的最大值处（不过确实是这些离散化了的有限个点里面“矮子拔将军”）
    “中间值频率点”课本中定义更是直接变成了“第一个超过1/2的点”这种。
    反正“频率点”肯定对应那有限点中的某一个\(m/N\Delta\). 即“点”只有有限个候选人。
  3. Q: 如何理解\(f_c, f_{\delta}\)和离散信号中某些物理量的关系？
    A: 离散信号抽样间隔和\(f_c\)联系（抽样定理）
    频率里的“抖动”（“频率的高频”）对应时域中“远处”的点。所以时域远处点能量很小才行。（什么叫做“远”就是\(f_\delta\)决定）
    （\(N> 2f_c/f_\delta,T_{min}=1/{f_\delta}\)都是在进一步阐述这些事实）

7.5 有限离散哈特利变换、余弦变换和广义中值函数

  1. Q: \(cas \omega_{mk} cas\omega_{mn}\)和有限离散哈特利逆变换有何联系？（\(cas\)是\(cos\quad and\quad sin\)之意）
    A: 计算得原式求和等于\(N\delta_{kn}\)（当\(|k-n|\le N-1\)），从而容易得到逆变换公式。这个过程和有限离散傅里叶变换的推导类似。
  2. Q: \(\sum sinn\beta\)和等比级数有何关系？
    A: 提示：\(e^{in\beta}\)等比级数求和，看实虚部
  3. Q: 简要阐述证明有限离散逆I型余弦变换公式的思路
    A: 定义写出，积化和差，等比数列求和，分是否相等和奇偶讨论
  4. Q: 对广义中值函数性质应用时，一个重点是把\(g(奇数\beta)\)通过（）（填公式）变为（）的组合
    A: \(g((2k+1)\beta) = \frac{g((2k+2)\beta)+g(2k\beta)}{\phi(\beta)}\)，\(g(偶数\beta )\)