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7 正则语言

7.1 Chomsky谱系

  1. Q: 递归枚举语言在谱系中对应最（）的计算能力。其实用价值有时较低，因为（）。
    A: 强。不能有明确判定结果/计算复杂等
  2. Q: 1型语言做（）特殊处理后，就可以形成0->1->2->3的（）关系。
    A: 包含进各个与空串的并集。0型 1型 2型 3型语言依次真包含。
  3. Q: 请顾名思义解释“上下文有关”“右线性”
    A: 提示：上下文有关：相对上下文无关而言，某个字符的“作用”（可能后果）可能“被周围所影响”（\(\alpha\to\beta\)中\(|\alpha|>1\)时）
    右线性：\(A,B\)（变元）这种为“先锋”向右延伸。线性往前而不“往回”。全程任意时刻最多只有一个变元（“有限自动机指针”）
    都是不严格语言表达，合理即可。
  4. Q: 解释书写中常用的记号\(A\to \alpha|\beta\)，\(\{B\to Aw|A\to wB\in\Gamma\}\)
    A: 第一个是“或”，是两条产生式的简记。
    第二个是集合的一种表示法，即“对于每个\(A\to wB\in \Gamma\)，都把\(B\to Aw\)放入集合中”
  5. Q: 证明左/右线性文法等价时，从一边的派生过程怎么“诱导出”另一边的？
    A: “倒过来”看之前派生过程，从最后一步开始。比如针对从左到右的依次产生，我先看最右边产生的是什么，然后依次往左产生。
    注意变元出现位置从一边挪到另一边。
    注意边界情况，比如唯一不产生变元的产生式是\(S\to \epsilon\)，比如原来的\(\to w\)诱导出\(S\to \cdots\)（一边结束是另一边开始）
  6. Q: 数的巴科斯范式(BNF)描述中，刚生成完第一个0-9的数的状态是\(R_1\)，刚生成完（）是\(R_2\)，之后依次（）（）（）（）。
    除了\(R_6\to \epsilon\)外，由于（）可以没有，（）可以没有，所以（）也\(\to\epsilon\)
    A: 小数点，小数点后第一位对应\(R_3\)，\(e\)对应\(R_4\)，\(e\)后符号对应\(R_5\)，\(e\)后符号后第一位对应\(R_6\)（注：强调“后第一位”是因为不允许在此处一个数字也没有。所以要专门引入状态作此保证）
    小数点及后面所有部分，\(e\)及后面所有部分，\(R_1,R_3\)

7.2 有穷自动机

  1. Q: “有穷”是有穷自动机很弱的核心原因吗？
    A: “有穷”原意是状态为有限种状态，可是图灵机也是有限种状态。
    实际上，有穷自动机非常弱的核心原因是不能回头。不能写。
    有穷自动机区别于图灵机的一个有穷是“只读一次”，计算过程步骤有穷。
  2. Q: 课本上的DFA必须读完字符串才能停机，但可能接受或不接受。如果我读到一半就知道肯定不接受了怎么办？
    A: 统统进入某个“自暴自弃状态”（它不是接受状态）。这个“自暴自弃状态”只会不断循环，机械的往下读，读无可读就停机不接受。
    其实这有一定浪费。你可以考虑如同NFA一样允许\(\delta\)是“部分函数”
  3. Q: 课本中\(\delta\)到\(\delta^*\)的扩张，是说“部分函数”扩张成“全函数”了吗？
    A: 不是。此扩张非彼扩张。这里是归纳定义，给出了\(S\times A^*\)（即一个状态和一个字符串）输出的结果。
    对于NFA中，原来有些二元组对应空集的，这样扩张后该是空集的还是空集。
    课本中对于DFA本来就约定\(S\times A\)中每个二元组都有对应的函数值。（当然如1.所说你可以改变定义，其实也合理）
  4. Q: DFA模拟NFA：状态集是原来状态集\(Q\)的（）集。停机的那些状态是（）。
    证明的核心是归纳说明每一步“模拟器的状态”就是（）。
    A: 幂，与原来的接受状态集\(F\)交非空的那些集合。
    经过这么多步时，被模拟的NFA可能出现的所有状态之集。
  5. Q: “不可达”现象的出现告诉我们应该如何构造模拟NFA的DFA才不会浪费？
    A: 走一步看一步，如果已经没有“悬而未决”（已经列入表中，但未计算\(\delta'\)值）的子集了就停，不继续处理了。
  6. Q: \(\epsilon\)转移破坏有限性吗？
    A: 表面上看好像可以不断读入空串不断转移，实际上只要计算出\(\epsilon\)闭包，那还是可以枚举分类讨论的。（不断读入空串时，其实还是在闭包里打转）
    注：上述这种“\(\epsilon\)转移封闭性”当然也是能用DFA模拟\(\epsilon-\)NFA的关键前提之一。

7.3 有穷自动机与正则文法的等价性

  1. Q: 做类比。
    右线性文法；（从左到右读的）DFA
    变元；（）
    \(A\to bC\)；（）
    \(S\)；（）
    \(A\to \epsilon\)；（）
    终极符；（）
    A: 自动机指针及状态
    自动机读取一个字符并作状态转移
    自动机初始状态
    自动机停机接受
    字母表中字母
  2. Q: 用正则文法模拟FA，证明\(L(G)\subset L(\mathscr M)\)的关键：只有（）不产生新的（）。需要特别讨论的情况：（）字符串。
    A: \(A\to \epsilon\)型产生式，变元，空
  3. Q: 用\(\epsilon-NFA\)模拟正则文法，FA读取空串转移类比文法中的（）。FA“读取一串字符”具体如何操作？
    A: \(X\to Y\)型产生式
    引入一系列中间状态
    注意NFA可以猜，所以你可以猜这个a是ab的开头，也可以同时猜它是ac的开头，同时进入多个“状态序列”。
  4. Q: 接上，上面是对FA做处理，那能不能对正则文法做处理解决这个问题？
    A: 比如限制每个产生式右侧只能最多生成一个终极符。显然能构造出满足此条件且与原来等价的正则文法。
  5. Q: 实际应用中，为了构造DFA往往先构造（），有时为了构造后者还要先构造（）。
    A: \(\epsilon-NFA\)，右线性文法

7.4 正则表达式

  1. Q: 对于正则语言字母表扩充仍正则、正则语言并仍正则、正则语言补仍正则、正则语言连接仍正则，正则语言闭包仍正则，分别使用什么样的FA比较方便？
    A: NFA（新字母直接\(\emptyset\)）
    \(\epsilon-\)NFA（\(\epsilon-\)转移分别进入两个自动机的初始状态）
    DFA（直接改变接受状态集）
    \(\epsilon-\)NFA（旧接受状态\(\epsilon\)转移至新初始状态）
    \(\epsilon-\)NFA（接受状态\(\epsilon\)转移至初始状态，当然初始状态也是接受状态之一）
  2. Q: 为什么正则表达式可以表示正闭包？
    A: \(r^+=rr^*\)，其中\(r\)是正则表达式（而不一定是一个字母）。注意此处省略\(\cdot\)连接。
  3. Q: 题0.主要能帮助（）模拟（）。而如果反过来模拟，核心的思想有点类似Floyd算法的“插点”。假设（）的那些字符串已经用正则表达式表示（为\(R_{ij}^{k-1}\)），则如果新“插了至少一个点”，就并上相应的集合。
    这些并上的集合根据插点个数不同可以统一用正则表达式（）表示。
    A: FA，正则表达式
    能被接受且FA运行过程中只经过编号小于等于\(k-1\)状态
    \(R_{ik}^{k-1}(R_{kk}^{k-1})^*R_{kj}^{k-1}\)
  4. Q: 空集和空串做运算有何不同？
    A: \(+\)运算：一个加了空串作为元素一个没有效果。
    \(\cdot\)运算：一个没有效果一个变成了空。
    （类比数1，0的作用区别）
    \(^*\)运算：都是空串（易错：\(\emptyset ^*=\epsilon\)）
  5. Q: 解说\((\alpha^*+\beta^*)^*=(\alpha^*\beta^*)^*=(\alpha+\beta)^*\)
    A: 注意\(=\)表示\(\langle\cdots\rangle= \langle\cdots\rangle\)（两正则表达式表示的正则语言相同）
    直接写出对应的集合形式，证明相互包含关系即可。

7.5 非正则语言

  1. Q: 解说泵引理、鸽笼原理、有穷、“存储”的关系。
    A: 泵引理直接来由就是有穷导致有鸽笼（抽屉）原理，即\(n\)个状态DFA最多\(n+1\)步就至少会出现重复的。一样的两状态之间的子串（非空）可以多重复任意多次不影响字符串是否被接受。
    本质上，有穷自动机的“存储”空间有限，所以对涉及“无穷”存储的语言，如\(\{a^mb^m|m>0\}\)，就由于鸽笼原理，FA无法存储无穷多种状态，而一定不是正则语言。

习题

  1. Q: 用表格规范表示FA时，特殊的状态\(q\)怎么表示？
    A: \(\rightarrow\)表示初始，\(*\)表示接受。（回忆状态转移图……）
  2. Q: 我们讨论产生式右侧含的终极符数量。首先对于含0个的情况，对于\(A\to B\)型，类似于（）转移。对此可以考察某种意义的“闭包”，把\(B_i\to w_i A_1,A_1\to A_2\)这类变成（），使得\(A\to B\)型不再出现。
    注：具体去除各个\(A\to B\)型产生式的次序，可以是课本这样考虑环、链结构（实际中可能效率快），也可以暴力逐条边去除。总之有限步内一定可以完成。
    注：课本没有考虑涉及\(S\)的问题。
    A: \(\epsilon\)
    \(B_i\to w_i A_2\)（当然，\(i\)可能取一串数，即对应了多条形如\(B\to wA\)的产生式）
  3. Q: 接上，如何考察\(A\to \epsilon\)？
    A: 除非是涉及\(S\)的情况，否则直接把\(B\to wA, A\to \epsilon\)变为\(B\to w\)即可。
    注：显然，如果把\(S\to \epsilon\)这些去掉了，原来能派生空串的现在就不能。
  4. Q: 接1.和2.，看起来这类做法是通用的，即\(B\to wA, A\to \alpha\)时写成\(B\to w\alpha\). 那这样无限进行下去有什么后果？
    A: 产生式越来越长，越来越多，但正则文法的语言仍不变。
    总之这种做法可以去掉“产生式所含终极符太短”的情况，因为越这么做右侧越长。
  5. Q: 接3.，接下来怎么把一切产生式右侧都变为恰含1个终极符？
    A: 比如对于\(A\to abB\)，针对“生成了a还未生成b”这个“状态”专门引入一个变元表示。
  6. Q: 如果DFA只有一个接受状态，那么我们针对其没有猜想能力的特点可以***难：如果指定某语言\(\{0, 00\}\)，则DFA读取0一定（），而读取00也一定（），从而（），矛盾
    A: 接受，接受
    接受状态读0还是接受状态，000也被接受。
  7. Q: NFA能猜了，那就一定能对任何语言构造接受它的一个接受状态的NFA嘛？
    A: 提示：开局一个点，后面才能开枝散叶。
    所以\(\{\epsilon, 0,1\}\)这个语言就不行。
  8. Q: 状态的合并一定要\(\delta(p, a)\equiv\delta(q,a)\)（恒相等）才能进行吗？
    A: 不一定。只需\(\delta^*(p,w)\leftrightarrow \delta^*(q,w)\)对任意\(w\)成立即可。
  9. Q: 说明“某个正则表达式方程解存在唯一性”的思路是什么？
    A: 验证某正则表达式是解，且验证其它解和它表达的语言相同。
  10. Q: 偏序和记号\(minL\)有何关系？
    \(prefL\)和FA经过某状态的判定有何关系？
    A: \(minL\)类似于偏序中极小元构成集合
    由于FA从某状态开始是否可能经过某状态是可计算的，故可把所有“可能之后接受”的状态都标为接受状态，容易得到\(prefL\).
    注：课本做法：“虚状态”，即读完串之后“虚”地不断\(\epsilon\)转移。
  11. Q: \(0^m1^n,m和n为互素正整数\)使用泵引理时，哪边需要是大质数？
    A: \(n\)需要是大质数，从而使得“重复段”无论多长都和\(n\)互素。
  12. Q: 语言的集合运算对应状态集的（）运算和接受状态集的（）运算。
    这样可以证明一些语言的正则性，甚至通过判定FA语言是否为空可以判定两个FA的接受的语言是否相同。其中用到（）运算
    A: 笛卡尔积（对于\(Q_1,Q_2\)，新状态集\(Q_1\times Q_2\)），集合（例如交集就是\(\{第一分量为……\}\cap\{第二分量为……\}\)）
    对称差集