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4 一阶逻辑：证明论

4.4 前束范式和子句范式

12\(\vdash\)之第一组

  1. Q: 记忆第一组。\(x_i\)不在\(\mathscr{ A}\)中自由出现，则根据K（）（填编号）可以帮助记忆，写出：（）。
    A: 6
    \(\vdash (\forall x_i)(\mathscr{ A}\to\mathscr{B})\leftrightarrow (\mathscr{A}\to\forall x_i\mathscr{B})\).
    \(\vdash (\exists x_i)(\mathscr{ A}\to\mathscr{B})\leftrightarrow (\mathscr{A}\to\exists x_i\mathscr{B})\).
  2. Q: 证明第一组第一式。第一式正向就是K6，反向可以发现整个右边都不自由出现（），所以由果到因知道最后一步估计是演绎定理，倒数第二步估计是\((\mathscr{A}\to(\forall x_i)\mathscr{B})\vdash\)（）。这就简单了。
    A: \(x_i\)，\(\mathscr{A}\to\mathscr{B}\)
  3. Q: 证明第一组第二式。左推右：我们发现“\(\sim\)在最外层的”太多了，所以设法减少这种情况。先把待证式抽象成\(\mathscr L_0\)中表达式\(\sim\mathscr{C}\to(\mathscr{A}\to\sim\mathscr{D})\)，再写成外层不含\(\sim\)的等价形式（）。所以只用考察证明（）即可。
    A: \(\mathscr{A}\to(\mathscr{D}\to\mathscr{C})\)，\(\mathscr{A},\forall x_i\sim\mathscr{B}\vdash \forall x_i\sim(\mathscr{A}\to\mathscr{B})\)
    注：\(\mathscr{A}\)和\(\forall x_i\sim\mathscr{B}\)中都不含自由的\(x_i\)，这就提示演绎定理。
  4. Q: 接上，右推左：\((\mathscr{A}\to\sim\mathscr{D})\to\sim\mathscr{C}\)等价于\((\sim\mathscr{A}\vee\sim\mathscr{D})\to\sim\mathscr{C}\)，这提示我们只需证明\(\vdash\sim\mathscr{A}\to(\exists x_i)(\mathscr{ A}\to\mathscr{B})\)（显然）和\(\vdash \exists x_i\mathscr{B}\to(\exists x_i)(\mathscr{ A}\to\mathscr{B})\)（证明方法（）），再通过重言式（）即可证明。
    A: 使用K6'和K3
    \((\sim \mathscr{A}\to\sim\mathscr{C})\to((\sim \mathscr{D}\to\sim\mathscr{C})\to((\sim\mathscr{A}\vee\sim\mathscr{D})\to\sim\mathscr{C}))\)

12\(\vdash\)之第二组

  1. Q: 第二组相比第一组考察的是（）不在（）中自由出现的情况，此时\(\forall x_i(\mathscr{A}\to\mathscr{B})\leftrightarrow(\exists x_i \mathscr{A}\to\mathscr{B})\)的直观含义是什么？用自然语言说明。
    A: \(x_i\)，\(\mathscr{B}\)
    比如：“任何时候，做了这个就是得罪我”等价于……
    注意这里“得罪我”的“我”在不同时刻是同一个我（\(x_i\)不在\(\mathscr B\)自由出现）
  2. Q: 证明第二组第一式。左推右：\(x_i\)不在\(\mathscr{B}\)自由出现，也不在\(\forall x_i(\mathscr{A}\to \mathscr{B})\)自由出现，那自然就把这俩都丢左边，最后（）定理就可以用。那为了\(\mathscr B\)能丢左边，需要把原式转化成（）
    右推左：前件再次出现了\(\sim\mathscr{C}\to\mathscr{B}\)这种结构，那自然可以利用连接符（）改写。类似于上节。
    A: 演绎，\(\vdash \forall x_i(\mathscr{A}\to\mathscr{B})\to(\sim\mathscr{B}\to\forall x_i\sim\mathscr{A})\)，\(\vee\)
  3. Q: 证明第二组第二式。左推右：前件有否定（存在量词最外层是否定），那就改写成（）去掉否定。
    右推左：前件又是“复合命题”，直接用连接符（）改写成（）即可。
    A: \(\forall x_i \mathscr{ A},\sim\mathscr{B}\vdash \forall x_i\sim(\mathscr{A}\to\mathscr{B})\)
    \(\vee\)，\(\vdash(\sim\forall x_i\mathscr{A}\vee \mathscr{B})\to\exists x_i(\mathscr{A}\to\mathscr{B})\)

12\(\vdash\)之第三组及总结

  1. Q: 第三组把\(\exists\)写开，就看起来像\(\mathscr{A}\)简单换成了（）。而这显然只需考虑重言式和K（）（填编号1-6或6'）
    当然直接对\(\mathscr{A}\leftrightarrow \sim\sim\mathscr A\)替换定理也可。
    A: \(\sim\sim\mathscr{A}\)，6'（注意K6'并不需要任何“不自由出现”条件）

  2. Q: 这12条\(\vdash\)中，如果使用（）的一侧，可以造出前束范式。前束范式从形式上可以分成两部分：前面是（），后面是（）。如果前面内部有（）结构称为斯科伦前束范式，如果后面内部有（）结构称为（）。
    A: 把量词放到整体前面（例如\(\forall x_i \mathscr{A}\to\mathscr{B}\)变成\(\exists x_i(\mathscr{A}\to\mathscr{B})\)）
    量词\((Q_1x_{i_1}\cdots Q_kx_{i_k})\)其中每个\(Q_i\)是\(\forall\)或\(\exists\)，不带量词的公式\(\mathscr{D}\)
    存在量词都在全称量词前（注：显然这时所有斯科伦函项都退化成斯科伦常元）
    是合取范式或析取范式，前束合取范式或前束析取范式

  3. Q: 用这3组，（）个可证等价，共12个\(\vdash\)，证明任何公式都有（）等价的前束范式：

    1. 公式最外层\(\sim\)，进行此步归纳使用第（）组。
    2. 公式最外层\(\to\)，则需首先进行换名，使得\(Q_1x_{i_1}\cdots Q_kx_{i_k}\mathscr{C}_2\to R_1 x_{j_1}\cdots R_l x_{j_l}\mathscr{D}_2\)满足（）条件，再不断使用（）
    3. 公式最外层\(\forall\)则非常简单，只需根据意义写出一次替换（或用一次K6'）即可得到\(\vdash (\forall x_i)\mathscr C\leftrightarrow\)（）

    替换定理在证明中用到了哪里？
    A: 6，可证，三
    各\(x_i,x_j\)不重名且它们还都和\(\mathscr{C}_2,\mathscr{D}_2\)中自由变元不重名（都是约束变元，你完全可以变元换名都换成新名）（其实就是去除变量遮蔽(shadow)）
    一和二组（其中一组针对把\(R\)提前，二组针对把\(Q\)提前）
    \((\forall x_i)(Q_1x_{i_1})\cdots(Q_kx_{i_k})\mathscr D\)
    所有的“归纳”过程中，“归纳假设”只是说更短的公式有前束范式，你把更短的公式替换成其前束范式的过程中要保持可证等价，所以需要用替换定理。

  4. Q: 上题只表示了前束范式可计算性、存在性。那唯一性和计算复杂性如何？
    A: 显然不唯一。注：之后求子句范式时，这种不唯一性进一步可能导致各种可能的斯科伦式之间不逻辑等价（但一定弱等价）
    计算复杂性：提示：可以看到每个连接符都使得该连接符涉及的所有量词引起\(\Theta(1)\)的计算量。深处的量词被提出来时计算次数更多。

  5. Q: 2.证明中，前件写成前束范式，量词用\(Q_i\)表示，后件写成前束范式，量词用\(R_j\)表示。则如果归纳出了\(Q_i^*\cdots R_j(前件\to 后件)\)，则星号意为（）。这里是先提取前件中的量词还是后件中的？
    A: 存在和任意互换。注意提取前件中的需要互换，提取后件中的不需要。
    先提取了前件中的。总之，先提取的在前（常见错误：对于\(\forall x(\mathscr A\to\forall y\mathscr B)\)，提取\(y\)时错误放到了\(\forall x\)的前面）

  6. Q: 如何理解“复杂程度与量词的交叉次数有关”？
    A: 在实际执行计算时，出现“交叉”（就是从前往后看“切换”了多少次，例如\(\forall x\forall y\exists z\forall w\forall u\)就是“切换”或说交叉两次）会影响计算复杂性。\(\Pi\)和\(\Sigma\)式的计算复杂性也可能不同。
    注：数理逻辑是计算复杂性理论的“根”，\(\Sigma_n,\Pi_n\)式在其中起了重要作用。
    更具体的东西在此处略去。

弱等价性定理

  1. Q: 记\(\mathscr A^s\)是\(\mathscr A\)的斯科伦式，则（）\(\vdash\)（）。应该对（）结构归纳。其中用到R4和Gen恢复量词等等。（具体过程较难，省略）
    A: \(\mathscr A^s\)，\(\mathscr A\)，\(\mathscr A\)
    注：直观（模型论？）上看倒是很显然
  2. Q: 公理的斯科伦式是什么意思？之前学的公理系统中公理没有存在量词啊？
    A: 公理模式没有，公理可能有。
    总之，\(K^s\)引入了一些新的公理（但没有改变规则）
  3. Q: 由0.，可以得到\(\vdash_{K^s}\mathscr A\)是\(\vdash_K\mathscr A\)的（）条件。
    A: 必要
    注：\(\mathscr A^s\)能推出\(\mathscr A\). 所以从这个角度，\(K^s\)推理能力“更强”，能推出更多的定理。所以是“必要条件”（后面还会证明是充要条件）。
  4. Q: 对于已知\(\mathscr A\)是\(K\)中公式，即不含新引入的斯科伦函项和斯科伦常元，可以证明上题的反向。
    证明过程：课件中需要用（）定理。即若\(\mathscr{A}\)在\(K\)的每个可数模型\(M\)为真，则（）。
    “每个可数模型”太难考察，那怎么办？
    A: 完全性（注：也就是纯从证明论角度比较麻烦，要通过“模型为真”的关系架桥过渡）
    \(\vdash_K \mathscr A\)
    可数论域可同构于正整数集。而非空正整数集子集总有最小元，方便了考察。
  5. Q: 接上，具体证明过程是
    \(\vdash_{K^s}\mathscr A\)
    \(\vdash_{K^s}\mathscr C_i^s\)
    \(\vdash_K \mathscr C_i\)
    \(\mathscr C_i\)对\(M\)为真
    \(\mathscr C_i^s\)对\(M^s\)为真
    \(\mathscr A\)对\(M^s\)为真
    \(\mathscr A\)对\(M\)为真
    \(\vdash_K\mathscr A\)
    解说每一步的依据和其中的“架桥”思想。
    A:
    根据演绎过程找到有限条\(K^s\)中用到的公理
    根据\(K^s\)和\(K\)的定义找到对应的\(K\)中的公理
    \(K\)的可靠性定理（\(M\)是任取的，论域为正整数集）
    设法构造扩展模型（用到了正整数集的性质，如上题所述）
    类似于可靠性定理，进行归纳（使用的规则还是MP和Gen. 参考题1.）
    已知\(\mathscr A\)是\(K\)的公式，即不含新引入的斯科伦函项和斯科伦常元
    \(K\)的完全性定理
    架桥思想：最外层架桥是1678（用模型论架桥）
    中间层架桥是1256（对一般的定理用公理架桥）
    最内层架桥是2345（用旧系统公理的可靠性找模型）
  6. Q: 上述事实为什么推出\(K\)和\(K^s\)的一致性是等价的？
    A: 一方面\(K^s\)是“扩充”（回忆\(\mathscr A^s\vdash\mathscr A\)），\(K^s\)一致则\(K\)一致。
    另一方面如果\(K^s\)不一致则能演绎出\(K\)中的矛盾式（因为矛盾能演绎出一切）。所以（根据之前结论）\(K\)也能演绎出\(K\)中的矛盾式。从而\(K\)不一致。
  7. Q: 上述事实（证明论中的弱等价）和模型论中的弱等价有何联系？
    A: \(\mathscr A\)和\(\mathscr A^s\)同时不一致。根据模型论和证明论联系，不一致等价于矛盾式
    总之，两者同时为矛盾式，但不一定同时为有效式
    注：所以课件上“当且仅当为真”其实不是完全好。可以写成“\(\mathscr A\)存在为真的模型当且仅当\(\mathscr A^s\)存在为真的模型”

子句范式

  1. Q: 求子句范式过程中把（）（填等价类型）等价的前束范式（）化（这一步不是可证等价而是（）等价），又删除所有全称量词，最后把原子都看成命题符进行命题逻辑中的演算即可。
    A: 可证，斯科伦，弱
  2. Q: 斯科伦化是弱等价（矛盾等价于矛盾，有效不一定等价于有效），那删除全称量词是弱等价嘛？
    A: 是。而且既是逻辑等价，又是弱等价。（有效等价于有效，矛盾等价于矛盾）
  • 注：它们的区别只有在赋值一层才能体现。在解释一层就没有区别了，真等价于真。“有效等价于有效，矛盾等价于矛盾”就是从这来的。
  • 总之有三层：对赋值，对解释，对整个一阶语言。低层等价推出高层等价。
    • 可证等价，逻辑等价，弱等价都是在最高层考察。即“大打包”，必须所有解释都……，才去考察……
    • “真等价于真”在解释层考察，对所有赋值打了包（所以说\(\forall x_i\mathscr A\)和\(\mathscr A\)“拆包”到赋值层就不等价了）
  • 注：回忆形式记号：能互相\(\models\)，或说能互相\(\vdash\)，就是逻辑等价，记为\(\equiv\)

勘误集

ml-4_2.pdf

  • p82 量词的交叉在之前没有给出定义，不容易理解
  • p84 斯科伦写成斯科林了
  • p85 \(\exists x_4\)写成\(\exists y_x\)了
  • p86 \(\vdash_{K^s}\mathscr B\)推出\(\mathscr B\)在\(M^s\)中为真没有详细说明，不太容易看懂。其实类似可靠性定理证明