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4 一阶逻辑：证明论
4.2 导出规则
- Q: R2是全称量词引入，R3是（），R4是（），而存在量词消去（斯科伦化）没有简单的规则。
A: 全称量词消去（注：R3其实是把公理K4, K5写成规则形式。公理一定能写成规则，反之不然。演绎定理反向一定成立，正向不一定）
存在量词引入。
- Q: 解释记号\(\mathscr A(t,t),\mathscr A(x_i,t)\)的含义。
A: \(t\)在\(\mathscr A(x_i,t)\)中对\(x_i\)自由，\(\mathscr A(t,t)\)是用\(t\)替换\(\mathscr A(x_i,t)\)中自由\(x_i\)的处处出现。
特别注意\(\mathscr A(x_i,t)\)中可能仍含有\(t\)，因此使用R4时并不一定把所有的\(t\)都换成\(x_i\)，而是可以只换一部分。
特别地，可以“不做替换”，直接引入存在量词。
- Q: R3, R4两条规则分别在哪里用了Gen，从而什么时候可以用演绎定理正向？
A: 都没有使用Gen
所以都可以用演绎定理正向
- Q: 连接词相关的（导出）规则为什么都不影响演绎定理使用？
A: 这些规则的证明过程中都只使用K1-K3和MP（即“子系统”\(L\)中的东西），不使用Gen.
反正2.和3.都没Gen，那就不会出问题。
等价的谓词演算
- Q: \(((\forall y_1)\cdots(\forall y_n)\mathscr{A}\to\mathscr{B})\to((\forall y_1)\cdots(\forall y_n)\mathscr{A}\to(\forall y_1)\cdots(\forall y_n)\mathscr{B})\)
\((\forall y_1)\cdots(\forall y_n)\mathscr{A}\to(\mathscr{B}\to((\forall y_1)\cdots(\forall y_n)\mathscr{A}\to(\forall y_1)\cdots(\forall y_n)\mathscr{B}))\)
\((\forall y_1)\cdots(\forall y_n)(\mathscr{A}\to\mathscr{B})\to((\forall y_1)\cdots(\forall y_n)\mathscr{A}\to(\forall y_1)\cdots(\forall y_n)\mathscr{B})\)
中哪个不是有效的？
A: 只需让某个赋值使得\(\forall\cdots \mathscr A\)满足，\(\mathscr B\)满足，\(\forall \cdots \mathscr B\)不满足，则第一个、第二个都不是有效的。
- Q: 证明新系统\(K^\#\)中的可靠性定理。
A: K7显然。K8参见0.的第三种加括号方式，此时若要不有效，则必须\(\forall \cdots \mathscr B\)不满足，\(\forall \cdots \mathscr A\)满足，\(\forall \cdots (\mathscr A\to \mathscr B)\)满足，这是不可能的。
- Q: 证明新系统能推出的定理是原系统的定理。
A: K7显然是原系统的定理（用原系统的Gen）
回忆K1-K6能推出上一篇讲过的\(\forall x_i(\mathscr A\to\mathscr B)\to(\forall x_i\mathscr A\to\forall x_i\mathscr B)\)(K6')是原系统的定理（不对\(x_i\)做出要求），用完全类似的方法可以推出K8是原系统的定理。
- Q: 反过来，证明\(K\)推出的定理也能由\(K^\#\)推出：只需考察\(\mathscr B\)就是\(\forall x_i\mathscr A\)的情况，\(\mathscr B\)是Gen得到的。
为了证明这种情况，只需证明\(K\)推出的定理\(\mathscr A\)对应的\(\forall x_{i_1}\cdots\mathscr A\)都能由\(K^\#\)推出。归纳起点是（），归纳过程是（）。
A: 第一空：当\(\mathscr A\)是公理时用K7
第二空：当\(\mathscr A\)用MP得到时用K8. 用Gen得到时对其前趋考察归纳假设
4.3 等价和替换
- Q: 如何理解\(\mathscr A\leftrightarrow\mathscr B\)是“缩写”？
A: 原式是\(\cdots\wedge \cdots\)（两个方向）的缩写，进一步地\(\mathscr C\wedge\mathscr D\)本身就是\(\sim(\mathscr C\to\sim\mathscr D)\)缩写
- Q: 由（）是重言式得到：（）且（）就能推出“可证等价”，即\(\vdash \mathscr A\leftrightarrow\mathscr B\).
A: \((\mathscr A\to\mathscr B)\to((\mathscr B\to\mathscr A)\to \sim((\mathscr A\to\mathscr B)\to \sim(\mathscr B\to\mathscr A)))\)
\(\vdash \mathscr A\to\mathscr B\)
\(\vdash \mathscr B\to\mathscr A\)
- Q: 等价的“传递性”来源于谁的？
A: 提示：HS
- Q: 之前重言等价和逻辑等价（\(\mathscr A\equiv\mathscr B\)）都停留在语义层面，现在的（）要求可以演绎证明出，所以比（）强。
那它和重言等价关系呢？
A: 可证等价，逻辑等价
可证等价比重言等价弱
注：这个“比逻辑等价强”让人联想：演绎定理只有一个方向成立。
推论：对于闭式（或者已知符合演绎定理条件），则可证等价和逻辑等价等价。
- Q: 我们从FOL证明论（而非模型论）角度定义\(\equiv\)，即（）且（）。这和之前的定义等价（注：这里需要考察相当于带“额外前提”\(\mathscr A\)的可靠性和完全性）
A: \(\mathscr{A} \vdash_K \mathscr{B}\)，\(\mathscr{B} \vdash_K \mathscr{A}\)
- Q: \(\mathscr A\models_K\mathscr B\)等价于\(\mathscr A\to\mathscr B\)有效吗？为什么？如果不是，需要什么条件？（提示：一种条件是“闭式”，一种是利用上题）
A: 注意\(\models_K\)关系中，\(\mathscr A\)对一个解释的所有赋值成立，才考察\(\mathscr B\). 而\(\mathscr A\to\mathscr B\)只要\(\mathscr A\)的一个解释的一个赋值成立，就去考察\(\mathscr B\)，因此\(\mathscr A\to\mathscr B\)更容易不成立。
如果\(\mathscr A\to\mathscr B\)是闭式，则对某个解释所有赋值要么都成立要么都不成立，那就两者等价了。
利用上题，如果演绎定理正向条件成立（即\(\mathscr{A}\)中不自由出现被Gen了的\(x_i\)），则\(\mathscr{A} \vdash_K \mathscr{B},\mathscr{B} \vdash_K \mathscr{A}\)等价于\(\vdash \mathscr{A}\to\mathscr{B},\vdash \mathscr{B}\to\mathscr{A}\)，那容易说明两者也等价。
变元换名
- Q: 证明论中换名替换，关于\(x_j\)（换之后变元）的两个条件分别用在了哪里？
A: \(x_j\)不自由出现，从而可以用演绎定理。
\(x_j\)在\(\mathscr A\)中对\(x_i\)自由（课件上是更强的条件，即\(x_i\)也不约束出现），从而可以做公式中项替换（使用K5）。
- Q: \(x_j\)如果在\(\mathscr A(x_i)\)中约束出现，但（），则理论上也可使用变元换名。但这种操作并不是很常见，属于“可以但没必要”。
为什么说“可以但没必要”呢？
A: \(x_j\)在\(\mathscr A(x_i)\)中对\(x_i\)自由
比如在构造前束范式时，\(\forall x_i (\mathscr A(x_i)\to( \forall x_i\mathscr A(x_i)\wedge \forall x_k\mathscr A(x_k)))\)，你把外层\(x_i\)换为\(x_k\)，则变量遮蔽仍然存在，前束范式仍然无法构造。这样换（至少在构造前束范式时）不实用。
- Q: “全称闭式”\(\mathscr{A}'\)，则\(\vdash\mathscr{A}'\)等价于（）。
这证明过程中应用了什么？
这对应模型论的什么事实？
A: \(\vdash \mathscr{A}\)
证明过程：K5，Gen（以及归纳法）
模型论中，\(\mathscr{A}\)有效当且仅当\(\forall \cdots \mathscr{A}\)有效。总之，本题是互相\(\models\)等价于互相\(\vdash\)的特例
注：当然，不能说\(\mathscr{A}\)矛盾当且仅当\(\forall \cdots \mathscr{A}\)矛盾。
注：此处证明了\(\mathscr{A},\mathscr{A}'\)逻辑等价\(\mathscr{A}\vdash\mathscr{A}',\mathscr{A}'\vdash\mathscr{A}\)，但它们显然不可证等价。
替换定理
- Q: 替换定理\(\vdash (\mathscr{A}\leftrightarrow \mathscr{B})'\to (\mathscr{A}_0\leftrightarrow \mathscr{B}_0)\)，其中\(\mathscr{B}_0\)是通过用（）替换（）中\(\mathscr{A}\)的一次或多次出现而得的。
证明的归纳起点是（）。
A: \(\mathscr{B}\)，\(\mathscr{A}_0\)，\(\mathscr{A}\)就是\(\mathscr{A}_0\)且\(\mathscr{B}\)就是\(\mathscr{B}_0\)此时用K5和演绎定理
- Q: 接上，归纳过程中如果不涉及量词，可直接考察一些重言式。例如对于\(\to\)，考察的重言式是（）。
A: （这里写的是构造“替换实例”之前，即替换之前的重言式）
\(((\mathscr{A}\to(\mathscr{C}\leftrightarrow\mathscr{E}))\wedge (\mathscr{A}\to(\mathscr{D}\leftrightarrow\mathscr{F}))\wedge(\mathscr{A}\to(\mathscr{C}\to\mathscr{D})))\to(\mathscr{A}\to(\mathscr{E}\to\mathscr{F}))\)
- Q: 接上，对于出现量词\(\forall\)的情况，通过Gen和K6容易得到\(\vdash (\mathscr{A}\leftrightarrow\mathscr{B})'\to\forall x_i(\mathscr{C}_0\leftrightarrow\mathscr{D}_0)\). 为了证明目的（），可以在（），（），（）前提下\(\vdash\forall x_i\mathscr{D}_0\)，并类似地证明另一边。
A: \(\vdash (\mathscr{A}\leftrightarrow\mathscr{B})'\to(\forall x_i\mathscr{C}_0\leftrightarrow\forall x_i\mathscr{D}_0)\)，\((\mathscr{A}\leftrightarrow\mathscr{B})'\)，\(\forall x_i \mathscr{C}_0\)，\(\forall x_i(\mathscr{C}_0\to\mathscr{D}_0)\)
- Q: 上述替换定理证明中，“闭式”最核心用在什么地方？
A: 闭式中不含自由变元，故2.中可以使用K6和演绎定理。
- Q: 替换定理结合演绎定理（）向可以得到\(\vdash(\mathscr{A}\leftrightarrow\mathscr{B})'\)推出（）。相反方向成立吗？
A: 逆，\(\vdash(\mathscr{A}_0\leftrightarrow\mathscr{B}_0)\)，不成立
注：显然，例如替换公式中“无足轻重”的部分，则\(\vdash(\mathscr{A}_0\leftrightarrow\mathscr{B}_0)\)什么也说明不了
- Q: 接前述符号，替换定理的应用：\(\vdash \mathscr{A}\leftrightarrow\mathscr{B}\)时，由（）即可得到\(\vdash\mathscr{B}_0\).
由此，替换定理和换名替换结合有何结论？
A: \(\vdash\mathscr{A}_0\)
提示：在换名替换合法时，有\(\forall x_i(\mathscr{A}(x_i))\leftrightarrow \forall x_j(\mathscr{A}(x_j))\)，于是\(\vdash\)一个公式\(\mathscr{A}_0\)就也能\(\vdash\)其按前述方式“换名”后得到的公式\(\mathscr{B}_0\).
注：可以发现我们不需要\(\mathscr A\)是闭式。因为\(\mathscr A\leftrightarrow \mathscr B\vdash (\mathscr A\leftrightarrow \mathscr B)'\)
勘误集
ml-4_1.pdf
- p38 有一个\(B\)没花体。
- p43 一些\(\Leftrightarrow\)应该是\(\leftrightarrow\)
- p45 K8少了括号。应该是
\((\forall y_1)\cdots(\forall y_n)(\mathscr{A}\to\mathscr{B})\to((\forall y_1)\cdots(\forall y_n)\mathscr{A}\to(\forall y_1)\cdots(\forall y_n)\mathscr{B})\)
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