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3 一阶语言：模型论
3.3 解释
- Q: 为什么要解释非逻辑符号？
A: 非逻辑符号（函项符、谓词符）依赖于具体的应用背景，可以有不同的意思。在实际应用中，我们需要确定对\(n\)元谓词符，每个可能的\(n\)元组合是否满足该谓词；也需要确定对\(n\)元函项符，每个可能的\(n\)元组合映射到什么对象。这样才能确定公式的真值，项的实际意义等。
当然，常元作为特殊的函项符，如果不经指定那也是不确定实际含义的。命题符同理。
- Q: 相同的一阶语言\(\mathscr L\)一定对应相同的论域\(D_I\)嘛？相同的论域\(D_I\)一定对应相同的解释\(I\)嘛？
A: 不一定。相同的一阶语言只是有相同的函项符、谓词符、常元等等“字符”的集合。它们论域可以不同
同样“字符集”中变元在\(I\)解释下，可取值范围为论域\(D_I\)中任意对象，在另一个\(J\)解释下，可取值范围为论域\(D_J\)中任意对象，这完全可能。
不一定。比如对函项、谓词的定义可能不同（例如“哪些\(n\)元组合被某个指定谓词\(A_1^n\)判定为真？”的定义不同）
- Q: 论域和个体集有何区别和联系？
A: 个体集就是对常元（0元函项）的解释，个体集是论域的子集。
当然有时为了方便，令个体集与论域相同，则可容易地通过枚举常元，枚举论域中所有对象。
注：如果个体集是论域的真子集，那么你仍然可以设一些不属于\(\mathscr L\)的符号表示论域中其余元素。例如个体集\(\{b_1,b_2,\cdots\}\)，论域中还有一些其它元素\(\{a_1,a_2,\cdots\}\). 为了方便起见，你甚至可以写\(A(a_1)\)这样的原子，即直接把不属于语言的符号拿来使用。这种式子不是“合式”。
- Q: 什么时候\(\forall x A(g(x,f(x)),a)\)可以被解释成对于所有整数\(x\)，\(x\)和它的相反数之和为0？
A: 设某一一阶语言包含变元\(x\)，常元\(a\)，函项符\(f,g\)，谓词符\(A\).
提供如下解释\(I\)：令论域\(D_I\)是整数集，\(a\)表示0，\(f\)表示求相反数，\(g\)表示二元加法，\(A\)表示等于（关系）。
高阶语言
- Q: 用一阶语言表达关于信念的命题，设\(\forall xt ((Believe(x,t)\wedge Exists(t))\to Know(t))\)，那\(\forall x\mathscr A((Believe(x,\mathscr A)\wedge Exists(\mathscr A))\to Know(\mathscr A))\)为啥不对？
A: 公式作为“项”，这不是一阶语言了。
- Q: 二阶语言和数学归纳法有何联系？
A: 数学归纳法要求对任意谓词成立某条性质。这超出了一阶语言的表达范围（即必须对“谓词变元”加上量词）。数学归纳法可以用二阶语言表达为\(\forall A((A(0)\wedge \forall x(A(x)\to A(x+1)))\to \forall xA(x))\).
注：来自课堂：我们认为，如果强行“把\(A(x)\)这一事实放到论域中”，即强行构造与谓词\(A\)对应的函项符\(a\)，与\(\to\)对应的谓词符\(\to\)等等，就从实质上已经超出一阶语言的表达范围了。我们在说“表达能力”的时候，实质上对论域有一定约定。
- Q: 如何理解“对谓词变元的量词解释为论域中子集的集”？
A: 对量词\(\forall A_i\)，如果\(A_i\)表示1元谓词，则我们把这里的\(A_i\)解释为一切可能的一元谓词，即论域的一切可能的子集。所以\(A_i\)在此处可以取得的解释的范围是论域的幂集（子集的集）。
当然对于多元谓词，需要考虑笛卡尔积。
举例：“每个自然数集都有最小元”，这里的“自然数集”实际上就是考虑谓词。
3.4 满足
- Q: 为什么给定一个解释可能有多种甚至无穷种赋值？
A: 虽然对于常元的赋值\(v(a_i)=\bar a_i\)是指定的，但是对于变元的变元赋值\(u\)可能是有多种乃至无穷种的。
注：根据赋值的定义\(v(f_i^n(t_1,\cdots,t_n))=\bar f_i^n(v(t_1),\cdots)\)，也就是\(u\)和解释\(I\)决定了唯一的\(v\). 此处\(v(t_1)\)是项的赋值，\(\bar f_i^n\)是函项符的解释。如果你高兴可以写作\(v(f_i^n(t_1,\cdots))=i(f_i^n)(v(t_1),\cdots)\).
- Q: \(i-\)等值是等价关系嘛？\(i-\)等值是说除了\(v(x_i)\ne v'(x_i)\)外其余处\(v\)和\(v'\)相等嘛？
A: 是（根据\(=\)具有反身性，对称性，传递性显然得到\(i-\)等值也具有）。
不是，是除了\(x_i\)外其它变元\(x_j\)处\(v\)和\(v'\)相等。一般地，对于包含变元\(x_i\)的项\(t\)，不能保证\(v(t)=v'(t)\).
- Q: 对于赋值满足公式\(\mathscr A\)的归纳定义，其中哪些地方显式出现了对项的赋值？哪些地方出现了\(i-\)等值？
（注：赋值\(v\)满足公式\(\mathscr A\)可以记作\(I,u\models \mathscr A\)，其中此处\(I,u\)决定的赋值为\(v\).
或记作\(v(\mathscr A)=1\)，但注意此处的“1”不要称为“真值”。“真值”详见下一节。）
A:
出现对项赋值：对于原子\(A(t_1,\cdots,t_n)\)定义“满足”时，定义为：\(v(A(t_1,\cdots))=\bar A(v(t_1),\cdots,v(t_n))\). 如果你高兴可以写作\(v(A(t_1,\cdots))=i(A)(v(t_1),\cdots)\).
（注：因此可以说对项的赋值是对公式的赋值的基础）
出现\(i-\)等值：对于\((\forall x_i)\mathscr A\)定义“满足”时，定义为：任何与\(v\)为\(i-\)等值的\(v'\)都满足\(\mathscr A\).
- Q: 刚刚使用了“多种赋值”的想法考察\(\forall x_i \mathscr A\)，那么如何使用“多种解释”考察？
A: 把\(x_i\)看作常元，并依次解释成\(D_I\)中每个元素（从而\(v\)赋值时无需再对\(x_i\)赋值），看\(v\)在这一系列解释中是否都满足\(\mathscr A\).
注：对常元解释，对变元赋值。
公式中项替换的赋值
- Q: 考察等式\(v(f_t(s))=g_t(v)(s)\)，其中\(s\)是任一含有\(x_i\)的项，\(v\)是一个赋值，\(g_t(v)\)即\(v'\)是与\(v\)为（）等值且\(v'(x_i)=v(t)\)的赋值，则\(f_t\)表示的是用（）替换所有出现的（）。最后一句提到的替换是（）（选填“项替换”“公式中项替换”“换名替换”）。
A: \(i-\)，\(t\)，\(x_i\)，项替换
注：此处\(t\)未必不含有\(x_i\). 此处\(t\)包含\(x_i\)不会造成特别本质的困难，因为此处\(v'\)定义是\(v'(x_i)=v(t)\)，而不是\(v'(x_i)=v'(t)\)，你完全可以先计算好\(v(t)\)再指定\(v'(x_i)\).
- Q: 证明上述命题时，对于项长度作归纳时利用了对于不同的赋值，相同的解释而言，什么是不变的？
A:
\(v(u') = \bar f_i^n(v(u_1'),\cdots)\)
\(v'(u)=\bar f_i^n(v'(u_1),\cdots)\)
即：函项符\(f_i^n\)的\(\bar f_i^n\)（解释）相同。（接下来用归纳假设，考察更短的项，即可）
注：只要把考察函项符变成考察谓词符，就马上证明了对于原子\(\mathscr A(x_i),\mathscr A(t)\)，有\(v\models \mathscr A(t)\Leftrightarrow v'\models \mathscr A(x_i)\). （其中\(t\)在\(\mathscr A(x_i)\)中对\(x_i\)自由显然，因为原子。\(\mathscr A(t)\)是由\(\mathscr A(x_i)\)经过公式中项替换得到的）
- Q: 接上，对于由原子构成的非原子公式作证明，针对\(\sim,\to\)的证明与之前的证明有何异同？
A: 本质上，\(\sim,\to\)和谓词、函数有类似的性质。
对比：对于函数有
\(v(u') = \bar f_i^n(v(u_1'),\cdots)\)
\(v'(u)=\bar f_i^n(v'(u_1),\cdots)\)
对于\(\to\)有
\(v(\mathscr A\to\mathscr B)=f_\to (v(\mathscr A),v(\mathscr B))\)
\(v'(\mathscr C\to\mathscr D)=f_\to (v'(\mathscr C),v'(\mathscr D))\)
可以看到是完全类似的。
当然，\(\to\)的“层次”比函项符、谓词符更高。函项符和谓词符诱导的函数\(\bar f_i^n\)等只是对于不同赋值相同，而\(\to\)诱导的函数\(f_\to\)则是对于不同的解释都含义相同！
- Q: 接上，对于量词\(\forall\)在待考察\(\mathscr A\)最外层出现的情况，如果其对应的约束变元恰好是（）则直接根据公式中项替换的定义，可作（）（请概括）论证。
A: （一行一空）\(x_i\)
公式中项替换过程中不会替换掉这里的\(x_i\)，因此\(\mathscr A(x_i)=\mathscr A(t)\)，再注意与\(v\)为\(i-\)等值等价于与\(v'\)为\(i-\)等值。则两处考察的赋值集合和公式都相同，结果当然相同。
- Q: 接上，否则，对于\(\forall x_j(\mathscr B(x_i))\)与\(\forall x_j(\mathscr B(t)),j\ne i\)，通过反证法证明。
我们只看一侧即反设\(v\)不满足\(\forall x_j\mathscr B(t)\)，欲证\(v'\)不满足\(\forall x_j \mathscr B(x_i)\)
先根据反设，由\(v\)依据（）找到\(w\)，再根据\(w\)依据归纳假设考察\(\mathscr B\)构造与\(w\)为（）等值且\(w'(x_i)=\)（）的\(w'\).
这时考察\(v'\)和\(w'\)关系（至多对两个变元赋值不同），根据项在公式中对变元自由的定义，\(t\)中不出现（），因此\(w'(x_i)=w(t)=\)（）\(=v'(x_i)\)，从而\(w'\)与\(v'\)为（）等值。最后只需关注到（）\(=0\)即可。
A: 与\(v\)为\(j-\)等值且使得\(w(\mathscr B(t))=0\)，\(i-\)，\(w(t)\)，\(x_j\)，\(v(t)\)，\(j-\)，\(w'(\mathscr B(x_i))=w(\mathscr B(t))\)
量词的构造
- Q: 设\(\mathscr A\)中出现的所有变元有\(n\)个，我们形式上把\(\forall x_{n+1}\mathscr A\)中公式\(\mathscr A\)抽象成一个原子\(A(x_1,\cdots,x_n)\)，并构造（）元谓词\(A'\)，含义与\(A\)相同只是多了一个名义(dummy)变元（）。
这时对\(n+1\)元谓词\(B\)，用\(B\models A'\)可以定义\(\exists x_{n+1} B\models A\)，用（）可以定义（）。
A: \(n+1\)，\(x_{n+1}\)
\(A'\models B\)，\(A\models \forall x_{n+1} B\)
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